Matematica - Esercizi vari

E

1.19 Giacitura di una retta e di un piano . . . . . . . . . . . . . . . 8

n

1.20 Rette parallele in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

A

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.21 Piani paralleli in A 3

1.22 Retta e piano paralleli in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

A

1.23 Rette ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.24 Piani ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.25 Fasci di rette nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.26 Fasci di piani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Enunciati 11

2.1 Criterio di sottospazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Metodo per il calcolo del nucleo di un’applicazione lineare . . 11

ii INDICE

2.3 Metodo per il calcolo dell’immagine di un’applicazione lineare 12

2.4 Metodo degli scarti successivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Criterio di iniettività di un’applicazione lineare . . . . . . . . . 12

2.6 Criterio di suriettività di un’applicazione lineare . . . . . . . . 13

2.7 Criterio di isomorfismo di un’applicazione lineare . . . . . . . 13

2.8 Metodo di risoluzione dei sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . 13

2.9 Teorema di Rouché-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.10 Teorema su matrici associate ad un’applicazione lineare e

cambi di base (con diagramma) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.11 Metodo per determinare se una matrice è diagonalizzabile . . . 14

2.12 Teorema di caratterizzazione degli endomorfismi semplici . . . 15

n

2.13 Equazione della retta per due punti in . . . . . . . . . . . . 15

E

n

2.14 Equazione del piano per tre punti in . . . . . . . . . . . . . 15

E

2.15 Intersezione di due rette nel piano: casi possibili . . . . . . . . 16

3

2.16 Formula della distanza punto-piano in . . . . . . . . . . . . 16

E

2.17 Sviluppo del determinante secondo Laplace (lungo una riga o

una colonna) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.18 Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.19 Relazione tra molteplicità geometrica e algebrica di un

autovalore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

n

2.20 Equazioni di una traslazione di . . . . . . . . . . . . . . . 17

A 3

2.21 Distanza tra retta e piano paralleli in . . . . . . . . . . . . 18

E

3 Dimostrazioni 19

⊆

3.1 Sia V un K-spazio vettoriale e W V . Allora: W è un

⇔

sottospazio vettoriale di V W è chiuso rispetto alla somma

e al prodotto per scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Siano W e W due sottospazi di un K-spazio vettoriale V e

1 2 {v ∈ |v ∈ ∈

si denoti con W + W = V = w + w ; w W , w

1 2 1 2 1 1 2

}.

W Allora W + W è il più piccolo sottospazio vettoriale

2 1 2

∪

contenente W W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 2 · · · ∈

3.3 Sia V un K-spazio vettoriale e v , , v V . Allora

1 n

L · · ·

(v , , v ) è un sottospazio vettoriale di V . . . . . . . . . 20

1 n

3.4 L’insieme K [x], con le usuali operazioni tra polinomi, è un

sottospazio vettoriale di V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

{v · · · }

3.5 Un insieme di vettori I = , , v è libero se e solo se

1 n

L · · ·

ogni elemento di (v , , v ) si scrive in modo unico come

1 n

combinazione lineare dei v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i →

3.6 Data un’applicazione lineare f : V W , allora f (0 ) = 0

V W

−f ∈

e f (−v) = (v) per ogni v V . . . . . . . . . . . . . . . . 22

INDICE 1

→

3.7 Data un’applicazione lineare f : V W , ker(f ) e Im(f ) sono

sottospazi di V e di W , rispettivamente . . . . . . . . . . . . . 22

3.8 Siano V e W due K-spazi vettoriali della stessa dimensione.

Allora V e W sono isomorfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.9 Dato un sistema lineare omogeneo Σ : AX = 0 in n incognite,

n

il suo spazio delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di . 23

R

n,n

∈

3.10 Due matrici A, B K sono simili se e solo se esiste una

−1

∈

matrice P GL(n) tale che P AP = B . . . . . . . . . . . . 24

∈

3.11 Se ϕ End(V ) e λ è un autovalore di ϕ, allora l’insieme V

λ

dei corrispondenti autovettori è un sottospazio vettoriale di V 24

3.12 In uno spazio vettoriale euclideo un insieme finito di vettori

non nulli a due a due ortogonali è un insieme libero . . . . . . 25

3.13 Se W è un sottospazio di uno spazio vettoriale euclideo V ,

⊥

allora W è un sottospazio di V . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.14 Dati due punti, esiste ed è unica la retta passante per i due

punti stessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.15 Formula della distanza punto retta (nel piano) . . . . . . . . . 25

3.16 Intersezione di due rette nello spazio: casi possibili . . . . . . 26

3.17 Intersezione di due piani nello spazio: casi possibili . . . . . . 28

2

3.18 In , se r : a x+b y +c = 0, i = 1, 2, sono due rette incidenti

E i i i i F

nel punto A, allora tutte e sole le rette del fascio sono quelle

A

di equazione: λ (a x + b y + c ) + µ (a x + b y + c ) = 0 . . . 29

1 1 1 2 2 2

3

3.19 In , se π : a x + b y + c z + d = 0, i = 1, 2, sono due

E i i i i i

piani incidenti nella retta r, allora tutti e soli i piani del fas-

F

cio sono quelli di equazione: λ (a x + b y + c z + d ) +

r 1 1 1 1

µ (a x + b y + c z + d ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 2 2 2

Bibliography 31

2 INDICE

Capitolo 1

Definizioni

1.1 Spazio vettoriale

(Vedi pagina 55) Sia K un campo e V un insieme non vuoto. V si dice spazio

vettoriale su K o K-spazio vettoriale se:

a) In V è definita un’operazione di somma:

× →

s : V V V

0 0

denotata con s (v, v ) = v + v ;

b) E’ definita un’operazione di prodotto esterno:

× →

p : K V V

denotata con p (k, v) = kv;

c) Sono verificate le seguenti proprietà:

i) (V, +) 0 0

∈ ∈

ii) per ogni k, k K, per ogni v, v V si ha:

0 0

(k + k ) v = kv + k v

0 0

k (v + v ) = kv + kv

0 0

k (k v) = (kk ) v

1v = v, ove 1 = 1

K

4 Definizioni

1.2 Sottospazio vettoriale:

(Vedi pagina 59) Sia V un K-spazio vettoriale rispetto alle operazioni di

⊆

somma e prodotto e W V un suo sottoinsieme. Diremo che W è un

sottospazio vettoriale di V se, rispetto alla somma e al prodotto, W ha una

struttura di K-spazio vettoriale.

1.3 Base e dimensione di uno spazio vettori-

ale

(Vedi pagine 67-75) Sia V un K-spazio vettoriale. Un insieme ordinato

· · ·

I = (v , , v ) di vettori di V si dice base di V se I è un sistema libero

1 n L · · · · · ·

di generatori, cioè V = (v , , v ) e v , , v sono linearmente indipen-

1 n 1 n

denti.

Se esiste un intero positivo n tale che il K-spazio vettoriale V ammet-

ta una base di n elementi, diremo che V ha dimensione n e scriveremo

dim (V ) = n o più semplicemente, qualora il campo K sia chiaro dal con-

K {0 }

testo, dim (V ) = n. Altrimenti: se V = poniamo dim(V ) = 0; se invece

V ∞.

V non è finitamente generato, si pone dim (V ) =

1.4 Rango di una matrice

m,n

∈

(Vedi pagina 107) Data una matrice A K , si dice rango di A e si indica

con ρ (A) la dimensione dello spazio delle righe di A o dello spazio delle

colonne di A: ρ (A) = dim R (A) = dim C (A) .

1.5 Matrice ridotta per righe

m,n

∈

(Vedi pagina 113) Una matrice A K si dice matrice ridotta per righe

se, eliminando le righe nulle e permutando opportunamente le colonne, si

ottiene una matrice triangolare superiore completa, cioè:

 

· · · ∗ · · · ∗

a a a a a

11 12 13 1m−1 1m

· · · ∗ · · · ∗

0 a a a a

 

22 23 2m−1 2m 

 · · · ∗ · · · ∗

0 0 a a a

A =  

33 3m−1 3m

 

.. .. .. .. .. .. ..

 

. . . . . . . 

 ··· ∗ · · · ∗

0 0 0 0 a mm

1.6 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare 5

1.6 Spazio delle soluzioni di un sistema

lineare

(Vedi pagina 126) Un insieme di m equazioni lineari nelle n incognite

· · ·

x , , x a coefficienti in un corpo K, si dice sistema lineare di m equazioni

1 n

in n incognite.

Si userà la seguente notazione:

 · · ·

a x + a x + + a x = b

11 1 12 2 1n n 1



 · · ·

a x + a x + + a x = b



 21 1 22 2 2n n 2

Σ: .. .. .. ..

. . . .





 ···

a x + a x + + a x = b

 m1 1 m2 2 mn n m n

· · · ∈

Una soluzione del sistema lineare è una n-upla (α , , α ) K che è

1 n

soluzione di ogni equazione del sistema. L’insieme delle soluzioni del sistema

n

Σ è un sottoinsieme di K , detto spazio delle soluzioni di Σ.

1.7 Applicazione lineare

(Vedi pagina 167) Siano V e W due K-spazi vettoriali. Un’applicazione

→

f : V W si dice lineare se valgono:

L1 f (v + v ) = f (v ) + f (v )

1 2 1 2

L2 f (λv) = λf (v)

∀v ∈ ∀λ ∈

, v , v V ; K.

1 2

1.8 Nucleo e immagine di un’applicazione

lineare

(Vedi pagina 171) Siano V e W due K-spazi vettoriali e sia data un’appli-

→

cazione lineare f : V W , si dice nucleo di f , e si denota con ker(f ), il

{v ∈ | }.

sottoinsieme di V definito da: ker(f ) = V f (v) = 0

W

Si dice immagine di f , e si denota con Im(f ), il sottoinsieme di W definito

{w ∈ | ∃v ∈

da: Im(f ) = W V tale che f (v) = w}.

6 Definizioni

1.9 Matrice di cambiamento di base B,C

(Vedi pagina 190) Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n, sia M

id

V

n,n

∈ B, C → 7→

una matrice K e siano due basi di V e id : V V : v v, allora

V

B,C · · ·

M si dice matrice del cambiamento di base se denotate con (x , , x )

1 n B

id

V · · · ∈

e con (y , , y ) le componenti di un vettore v V scritto nelle rispettive

1 n C B,C

t t

· · · &mid