Massimo e minimo di una funzione

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 5 — 18 novembre 2010

n n

§ ∈

– 1) Sia E un sottoinsieme chiuso e limitato di e x un punto qualunque. Chi-

R R

amiamo ∈

d(x, E) = inf{d(x, y) : x E}

∈ ≡

la distanza di x da E. Dimostrare che esiste un punto x E tale che d(x, x ) d(x, E)

0 0

(detto il punto di minima distanza di x da E). Ce ne possono essere due diversi?

© – 2) Risolvere il problema di Cauchy

( 0 2

y = (x + y)

y(0) = 1.

[Suggerimento: utilizzare la nuova funzione incognita z = x + y].

© – 3) Si consideri la funzione x+y

−

 1 + αx + βy e 6

per (x, y) = (0, 0),

 2 2

f (x, y) = x + y

0 in (0, 0)



∈

dove α, β sono parametri reali. Determinare l’insieme di definizione di f . Inoltre

R

determinare per quali valori di α, β la funzione è continua, per quali valori è derivabile, per

quali valori è differenziabile. 2 2 2

© – 4) Trovare massimi e minimi di f (x, y, z) = x + y + 3z sul piano x + y + z = 1.

2 2

©§ −

– 5) Data la curva 2x + y x = 0, trovare i suoi punti più vicini a (0, 0) e quelli più

4 4 −

lontani da (0, 0). Stesso esercizio per la curva 2x + y xy = 0

n

§ ∈

– 6) Verificare che il modulo del vettore x si può calcolare nel modo seguente:

R

n n

X X

n 2

|x| ∈

= max{ x y : y , y = 1}.

R

i i i

i=1 i=1

§ – 7) Torniamo all’esercizio 1), e supponiamo di avere due insiemi E e F chiusi e limitati

n

in . Definiamo

R ∈

d(E, F ) = sup{d(x, F ), x E} .

6

Mostrare con un esempio che può essere d(E, F ) = d(F, E).

© – 8) Risolvere il problema di Cauchy

( 00 0

y (x) + 2y (x) + 2y(x) = 0 ,

0

y(0) = 1 , y (0) = 1 .

©§ – 9) Determinare i punti di continuità, derivabilità e differenziabilità della funzione

 2 2 ∈ ×

x + y (x, y) Q R



 2 2

−(x ∈ \ ×

f (x, y) = + y ) (x, y) (R Q) Q

 0 altrove.



2 2 2 2

© − {x ≤

– 10) Sia f (x, y, z) = x z. Trovare massimi e minimi di f su E = + 4y + 9z 1}.

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