Massimo e minimo di una funzione

Massimo e minimo

Intervalli della retta

R ∈ R, a, b, a < b

Si possono distinguere 4 intervalli:

• ∈ {x R : a < x < b - (a;b) = { Intervallo aperto ]a;b[
• ∈ {x R : a < x ≤ b - (a;b] = { Intervallo semiaperto ]a;b]
• ∈ <b {x R : a≤ x - [a;b) = { Intervallo semiaperto [a;b[
• ∈ {x R : a≤ x ≤ b - [a;b] = { Intervallo chiuso [a;b]

La lunghezza di un intervallo è: b-a.

Massimo

{ ∈x A

Dato un qualsiasi insieme A ⊆ R, un elemento x è massimo per A se ∀ ∈a A a ≤ x

Minimo

{ ∈x A

Dato un qualsiasi insieme A ⊆ R, un elemento x è minimo per A se ∀ ∈a A a ≥ x

Limitato superiormente

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice limitato superiormente se esiste un ∈≤ numero M per cui risulti x M per ogni elemento x X.

Tali M sono chiamati maggioranti per X. L'insieme dei maggioranti si indica con { }∈ ∈ ∀ ∈ = ={ }M x R : x è maggiorante di A x R : a A a≤ x M≠Ø perché A è limitato superiormente, quindi esiste almeno un maggiorante.

Ricorda: il maggiorante è un numero reale, perciò non deve necessariamente essere intero (cioè non deve necessariamente appartenere a N).

Limitato inferiormente

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice limitato inferiormente se esiste un ∈≥ numero m per cui risulti x m per ogni elemento x X.

Tali m sono chiamati minoranti per X. { }∈ ∈ ∀ ∈ = ={x }M x R : x è minorante di A R : a A a≥ x

L'insieme dei minoranti si indica con M≠Ø perché A è limitato inferiormente, quindi esiste almeno un minorante.

Ricorda: il minorante è un numero reale, perciò non deve necessariamente essere intero (cioè non deve necessariamente appartenere a N).

Limitato

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice limitato se valgono entrambe le condizioni, ossia ∈m≤ x ≤ M per ogni x X.

Estremo superiore

Sia A ⊆ R non vuoto e superiormente limitato; chiameremo estremo superiore (supA) il minore dei maggioranti.

Teorema

Sia A ⊆ R non vuoto e limitato superiormente. Allora l'insieme dei maggioranti per A (M) ammette minimo (minM) e questo coincide con l'unico elemento separatore tra A e M.

Dimostrazione

Applichiamo l'assioma di completezza ad A e M.