Massimo e minimo di una funzione

MASSIMO e MINIMO

Intervalli della retta R∈ Ra, b , a<b

Si possono distinguere 4 intervalli:

• ∈ }x R : a< x< b- (a;b) = { Intervallo aperto ]a;b[
• ∈ }x R : a< x ≤ b- (a;b] = { Intervallo semiaperto ]a;b]
• ∈ <b }x R : a≤ x- [a;b) = { Intervallo semiaperto [a;b[
• ∈ }x R : a≤ x ≤ b- [a;b] = { Intervallo chiuso [a;b]

La lunghezza di un intervallo è: b-a.

Massimo { ∈x A

Dato un qualsiasi insieme AcR , un elemento x è massimo per A se ∀ ∈a A a ≤ x

Minimo { ∈x A

Dato un qualsiasi insieme AcR , un elemento x è minimo per A se ∀ ∈a A a ≥ x

Limitato superiormente limitato superiormente

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice se esiste un∈≤numero M per cui risulti x M per ogni elemento x X.

Tali M sono chiamati maggioranti per X.

L’insieme dei maggioranti si indica con{ }∈ ∈ ∀ ∈= ={ }M x R : x è maggiorantedi A x R : a A a≤ xM≠Ø

Perché A è limitato superiormente, quindi esiste almeno un maggiorante. Ricorda: il maggiorante è un numero reale, quindi non deve necessariamente essere intero (cioè non deve necessariamente appartenere a N).

Limitato inferiormente

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero m per cui risulti x ≤ m per ogni elemento x di X. Tali m sono chiamati minoranti per X.

{ }∈ ∈ ∀ ∈= ={x }M x R : x è minorante di A R : a ∈ A a ≥ x

L'insieme dei minoranti si indica con M ≠ Ø perché A è limitato inferiormente, quindi esiste almeno un minorante. Ricorda: il minorante è un numero reale, quindi non deve necessariamente essere intero (cioè non deve necessariamente appartenere a N).

Limitato

Sia X un qualunque insieme. Tale insieme si dice limitato se valgono entrambe le condizioni, ossia m ≤ x ≤ M per ogni x di X.

Estremo superiore

Sia A⊆R non

vuoto e superiormente limitato; chiameremo estremo superiore (supA) il minore dei maggioranti.

Teorema

Sia A c R non vuoto e limitato superiormente. Allora l'insieme dei maggioranti per A (M) ammette minimo (minM) e questo coincide con l'unico elemento separatore tra A e M.

Dimostrazione:

Applichiamo l'assioma di completezza ad A e M.