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Punti di massimo e di minimo

Esercizi svolti per il corso di Analisi Matematica riguardanti il calcolo dei punti di massimo e di minimo assoluti vincolati di una funzione.
Gli esercizi sono seguiti da una dettagliata spiegazione sulle modalità di svolgimento che aiuta a comprendere più approfonditamente l'argomento.

Esame di Analisi Matematica II docente Prof. F. Nicola

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14 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

y

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 x

0.0

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.5

−1.0

Fig. 8: Gli insiemi Γ (in rosso) e Γ (in blu).

1 2

R

ϕ : [−2, 2] → è definta da

1 3x

ϕ (x) = f (x, 3) = e .

1

I punti di estremo di f su Γ sono i punti (x, 3) con x di estremo per ϕ . Essendo ϕ

1 1 1

strettamente crescente in [−2, 2], si ha che x = −2 è un punto di minimo assoluto

per ϕ e x = 2 è un punto di massimo assoluto per ϕ . Quindi (−2, 3) è un punto

1 1

di minimo assoluto per f su Γ , (2, 3) è un punto di massimo assoluto per f su Γ .

1 1

2

Consideriamo ora Γ . Per ogni (x, y) ∈ Γ si ha che y = x − 1. Posto ϕ = f ,

2 2 2 |Γ 2

R

si ha che ϕ : [−2, 2] → è definta da

2 3

x −x

ϕ (x) = f (x, y(x)) = e .

2

I punti di estremo di f su Γ sono i punti (x, y(x)) con x di estremo per ϕ .

2 2

Essendo ϕ di classe C sull’intervallo chiuso e limitato [−2, 2], i suoi punti di

2

estremo vanno cercati tra i punti stazionari e gli estremi dell’intervallo [−2, 2]. Si

3 3

0 2 x −x 0 0

ha che ϕ (x) = (3x − 1)e . Quindi ϕ (x) = 0 se e solo se x = ± e ϕ (x) > 0

2 2 2

3

h ´ ³ i

√ √ √

3 3 3

per x ∈ −2, − e x ∈ , 2 . Ne segue che x = − e x = 2 sono punti di

3 3 3

3

massimo locale per ϕ , x = −2 e x = sono punti di minimo locale per ϕ . Ne

2 2

3

³ ´

√ 3 2

segue che i punti − , − e (2, 3) sono di massimo locale per f su Γ , (−2, 3) e

2

3 3

³ ´

3 2

, − sono di minimo locale per f su Γ . Quindi il punto (2, 3) è di massimo

2

3 3

locale per f ristretta a ∂M = Γ ∪ Γ e il punto (−2, 3) è di minimo locale per f

1 2

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 15

ristretta a ∂M = Γ ∪ Γ . Essendo

1 2 Ã ! !

Ã

√ √

√ √

3 2 3 2

2 2

−6 6 3 − 3

f (−2, 3) = e , f (2, 3) = e , f − , − = e , f , − = e ,

9 9

3 3 3 3

si ha che (2, 3) è il punto di massimo assoluto per f su M e (−2, 3) è il punto di

minimo assoluto per f su M .

16 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Esercizio 2. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti delle seguenti funzioni

di tre variabili sugli insiemi specificati:

n o

3

2 xy 2 2 2

R

a) f (x, y, z) = z e M = (x, y, z) ∈ : x + y + z ≤ 1

" #

(0, 0, ±1) punti di massimo assoluto,

2 2

(x, y, 0) tali che x + y ≤ 1 sono punti di minimo assoluto

n o

p 3 2 2 2

R

2

b) f (x, y, z) = y 1 + z M = (x, y, z) ∈ : (x − 1) + y + z ≤ 4

q q 

 ³ ´

5 3

1, , ± punti di massimo assoluto,

2 2 

 

 q q ´

³ 5 3

1, − , ± punti di minimo assoluto

2 2

n o

2

3

2 2 2 z

R

c) f (x, y, z) = x + cos y M = (x, y, z) ∈ : x + y + e = 10

" #

(±3, 0, 0) punti di massimo assoluto,

(0, ±3, 0) punti di minimo assoluto

R

*d) f (x, y, z) = g(x) + g(y) + g(z), dove g : [0, +∞) → è la funzione

( n o

t log t se t > 0 3

R

g(t) = M = (x, y, z) ∈ : x + y + z = 1, x, y, z ≥ 0

0 se t = 0,

 

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) punti di massimo assoluto,

 

³ ´

1 1 1

, , punto di minimo assoluto

3 3 3

n o

2 2

y − z 3 2 2 2

R

e) f (x, y, z) = M = (x, y, z) ∈ : x + y + z ≤ 4

2

1 + x " #

(0, ±2, 0) punti di massimo assoluto,

(0, 0, ±2) punti di minimo assoluto

o

³ ´ n

2 2 2

3

2 −y 2 −y −z

R

f ) f (x, y, z) = 1 + z e M = (x, y, z) ∈ : x + 4 ≤ 8e

¡ ¢

" #

0, 0, ± log 2 punti di massimo assoluto,

¡ ¢

0, ± log 2, 0 punti di minimo assoluto

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 17

³ ´ n o

2 3

2 −z 2 4 2 2

R

g) f (x, y, z) = 1 + x e M = (x, y, z) ∈ : x + y − 2y + z ≤ 0

" #

(±1, ±1, 0) punti di massimo assoluto,

(0, ±1, ±1) punti di minimo assoluto

Svolgimento

I grafici dei domini di questi esercizi si trovano sulla pagina web

http://calvino.polito.it/∼lancelot/didattica/analisi2/esercizi/grafici maxmin assoluti esercizio 2.html

. 3

2 xy ∞ R

a) La funzione f (x, y, z) = z e è di classe C su . L’insieme

n o

3 2 2 2

R

M = (x, y, z) ∈ : x + y + z ≤ 1

è compatto. Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo

su M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

int(M ) = (x, y, z) ∈ : x + y + z < 1 .

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y, z) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y, z) = 0. Si ha che

∂f ∂f ∂f

2 xy 2 xy xy

(x, y, z) = yz e , (x, y, z) = xz e , (x, y, z) = 2z e .

∂x ∂y ∂z

Quindi  y = 0 o z = 0

∇f (x, y, z) = 0 ⇐⇒ x =0o z =0

 z = 0. 2 2

Quindi i punti stazionari interni a M sono i punti (x, y, 0) con x + y < 1. Os-

2 2

serviamo che anche (x, y, 0) con x + y = 1 sono stazionari per f su M ma non

sono interni a M . Essendo f ≥ 0 e f (x, y, 0) = 0, si ha che i punti (x, y, 0) con

2 2

x + y ≤ 1 sono di minimo assoluto per f su M .

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

∂M = (x, y, z) ∈ : x + y + z = 1 .

18 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

3

∞ R

Essendo f di classe C e ∂M una varietà di dimensione 2 in , allora i punti di

estremo su ∂M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su ∂M . Procedia-

2 2 2

mo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y, z) = x +y +z −1,

consideriamo la funzione ³ ´

2 xy 2 2 2

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = z e − λ x + y + z − 1 .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, z, λ) tali che ∇L(x, y, z, λ) = 0.

Si ha che  ∂L

 2 xy

(x, y, z, λ) = yz e − 2λx

 ∂x

 ∂L

 2 xy

(x, y, z, λ) = xz e − 2λy

 ∂y

 ∂L

 xy

 (x, y, z, λ) = 2z e − 2λz

 ∂z

 ³ ´

 ∂L

 2 2 2

 (x, y, z, λ) = − x + y + z − 1 .

∂λ

Quindi  2 xy

yz e = 2λx

 2 xy

xz e = 2λy

∇L(x, y, z, λ) = 0 ⇐⇒  xy

 2z (e − λ) = 0

 2 2 2

x + y + z = 1.

I punti stazionari di L sono (±1, 0, 0, 1), (0, ±1, 0, 1), (0, 0, ±1, 1), (x, y, 0, 0) con

2 2

x + y = 1. Quindi i punti stazionari vincolati di f su ∂M sono (x, y, 0) con

2 2

x + y = 1 e (0, 0, ±1). Per quanto detto in precedenza, i punti (x, y, 0) con

2 2

x + y = 1 sono di minimo assoluto per f su M . Inoltre i punti (0, 0, ±1) sono di

massimo assoluto per f su M .

√ 3

∞ R

2

b) La funzione f (x, y, z) = y 1 + z è di classe C su . L’insieme

n o

3 2 2 2

R

M = (x, y, z) ∈ : (x − 1) + y + z ≤ 4

è compatto. Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo

su M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

int(M ) = (x, y, z) ∈ : (x − 1) + y + z < 4 .

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y, z) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y, z) = 0. Si ha che

p

∂f ∂f ∂f yz

2 √

(x, y, z) = 0, (x, y, z) = 1 + z , (x, y, z) = .

∂x ∂y ∂z 2

1 + z

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 19

Quindi f non ammette punti stazionari in int(M ) e di conseguenza neppure punti

di estremo.

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

∂M = (x, y, z) ∈ : (x − 1) + y + z = 4 .

3

∞ R

Essendo f di classe C e ∂M una varietà di dimensione 2 in , allora i punti di es-

tremo su ∂M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su ∂M . Procediamo

2 2 2

con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y, z) = (x−1) +y +z −4,

consideriamo la funzione ³ ´

p 2 2 2

2

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = y 1 + z − λ (x − 1) + y + z − 4 .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, z, λ) tali che ∇L(x, y, z, λ) = 0.

Si ha che  ∂L

 (x, y, z, λ) = −2λ(x − 1)

 ∂x

 p

∂L

 2

(x, y, z, λ) = 1 + z − 2λy

 ∂y

 ∂L yz

 √ − 2λz

(x, y, z, λ) =

 ∂z 2

1 + z

 ³ ´

 ∂L

 2 2 2

 (x, y, z, λ) = − (x − 1) + y + z − 4 .

∂λ

Quindi  λ(x − 1) = 0

 √

 2

1 + z = 2λy

 ³ ´

∇L(x, y, z, λ) = 0 ⇐⇒ y

 z − 2λ =0

 √

 2

1+z

 2 2 2

(x − 1) + y + z = 4.

I punti stazionari di L sono à ! à !

r r r r

µ ¶ µ ¶

1 1 5 3 1 5 3 1

1, 2, 0, , 1, −2, 0, − , 1, , ± , , 1, − , ± , − .

4 4 2 2 2 2 2 2

q q

³ ´

5 3

Quindi i punti stazionari vincolati di f su ∂M sono (1, ±2, 0) 1, ± , ± . Si

2 2

ha che f (1, 2, 0) = 2, f (1, −2, 0) = −2,

à ! à !

r r r r

5 3 5 5 3 5

f 1, , ± = , f 1, − , ± = − .

2 2 2 2 2 2

q q

³ ´

5 3

Quindi i punti 1, , ± sono di massimo assoluto per f su M , i punti

2 2

q q

³ ´

5 3

1, − , ± sono di minimo assoluto per f su M .

2 2

20 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

3

2 ∞ R

c) La funzione f (x, y, z) = x + cos y è di classe C su . L’insieme

n o

2

3 2 2 z

R

M = (x, y, z) ∈ : x + y + e = 10 2

2 2 z

è chiuso e limitato. Infatti, si ha che se (x, y, z) ∈ M , allora x + y = 10 − e ed

2

z 2 2 2 2

essendo e ≥ 1 si ha che 0 ≤ x + y ≤ 9 e 0 ≤ z ≤ log 10. Quindi k(x, y, z)k =

2 2 2

x +y +z ≤ 9+log 10. Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo

e minimo su M . 3

∞ R

Essendo f di classe C e ∂M una varietà di dimensione 2 in , allora i punti di es-

tremo su ∂M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su ∂M . Procediamo

2

2 2 z

con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y, z) = x + y + e − 10,

consideriamo la funzione ³ ´

2

2 2 2 z

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = x + cos y − λ x + y + e − 10 .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, z, λ) tali che ∇L(x, y, z, λ) = 0.

Si ha che  ∂L

 (x, y, z, λ) = 2x − 2λx

 ∂x

 ∂L

 (x, y, z, λ) = − sin y − 2λy

 ∂y

 ∂L

 2

z

 (x, y, z, λ) = −2λze

 ∂z

 ³ ´

 ∂L

 2

2 2 z

 (x, y, z, λ) = − x + y + e − 10 .

∂λ

Quindi  2x(1 − λ) = 0

 2λy + sin y = 0

∇L(x, y, z, λ) = 0 ⇐⇒ 

 λz = 0

 2

2 2 z

x + y + e = 10.

³ ´

¡ ¢ 1

I punti stazionari di L sono 0, 0, ± log 10, 0 , 0, ±3, 0, − sin 3 , (±3, 0, 0, 1).

6

¡ ¢

Quindi i punti stazionari vincolati di f su M sono 0, 0, ± log 10 , (0, ±3, 0, ),

(±3, 0, 0). Si ha che

³ ´

p

f 0, 0, ± log 10 = 1, f (0, ±3, 0) = cos 3, f (±3, 0, 0) = 10.

Quindi (±3, 0, 0) sono punti di massimo assoluto per f su M e (0, ±3, 0) sono punti

di minimo assoluto per f su M .

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 21

R

*d) La funzione f (x, y, z) = g(x) + g(y) + g(z), dove g : [0, +∞) → è la funzione

( t log t se t > 0

g(t) = 0 se t = 0,

n o

3

R

è continua. L’insieme M = (x, y, z) ∈ : x + y + z = 1, x, y, z ≥ 0 è com-

patto. Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su

M .

Per ogni (x, y, x) ∈ M si ha che z = 1 − x − y, con x, y ≥ 0 e x + y ≤ 1.

R

Posto ϕ = f , si ha che ϕ : M → è definita da ϕ(x, y) = f (x, y, z(x, y)) =

ϕ

|M n o

2

R

g(x) + g(y) + g(1 − x − y), dove M = (x, y) ∈ : x + y ≤ 1, x, y ≥ 0 .

ϕ

y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 x

0.0

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Fig. 9: L’insieme M .

ϕ

I punti di estremo di f su M sono i punti (x, y, z(x, y)) con (x, y) di estremo per ϕ.

Essendo M chiuso e limitato, i punti di estremo di ϕ vanno cercati sia in int (M )

ϕ ϕ

che su ∂M . Consideriamo inizialmente i punti di estremo di ϕ in int (M ) =

ϕ ϕ

o

n 2

R

(x, y) ∈ : x + y < 1, x, y > 0 . Si ha che per ogni (x, y) ∈ int (M )

ϕ

ϕ(x, y) = g(x) + g(y) + g(1 − x − y) = x log x + y log y + (1 − x − y) log (1 − x − y).

Essendo ϕ di classe C in int (M ), i punti di estremo vanno cercati fra i punti

ϕ

stazionari, ossia fra i punti (x, y) ∈ int (M ) tali che ∇ϕ(x, y) = 0. Si ha che

ϕ

∂ϕ ∂ϕ

(x, y) = log x − log (1 − x − y), (x, y) = log y − log (1 − x − y).

∂x ∂y

Quindi ( 1

x = 3

∇ϕ(x, y) = 0 ⇐⇒ 1

y = .

3

22 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

´

³ 1 1

Quindi l’unico punto stazionario di ϕ interno a M è , . Per stabilire se è

ϕ 3 3

di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di ϕ in questo

punto. Si ha che

2 2 2

1 − y ∂ ϕ 1 − x ∂ ϕ 1

∂ ϕ (x, y) = , (x, y) = , (x, y) = .

2 2

∂x x(1 − x − y) ∂y y(1 − x − y) ∂x∂y 1 − x − y

³ ´

1 1

Quindi la matrice Hessiana di ϕ in , è

3 3

µ ¶

¶ µ

1 1 6 3

H , =

ϕ 3 6

3 3

´

³ 1

1

e gli autovalori sono 3, 9. Quindi , è un punto di minimo locale per ϕ. Si ha

3 3

³ ´ ³ ´

1 1 1 1 1

che ϕ , = − log 3. Ne segue che , , è un punto di minimo locale per f

3 3 3 3 3

su M .

Consideriamo ora i punti di estremo di ϕ su ∂M . Osserviamo che M è il trian-

ϕ ϕ

golo equilatero di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Quindi ∂M non è una varietà di

ϕ

2

R

dimensione 1 in . Denotiamo con Γ , Γ , Γ i lati del triangolo. Si ha che

1 2 3

n o

2

R

Γ = (x, y) ∈ : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 ,

1 n o

2

R

Γ = (x, y) ∈ : y = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 ,

2 n o

2

R

Γ = (x, y) ∈ : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1

3

e ∂M = Γ ∪ Γ ∪ Γ .

ϕ 1 2 3 y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 x

0.0

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Fig. 10: I lati Γ (in rosso), Γ (in blu) e Γ (in fucsia).

1 2 3

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 23

Osserviamo che

 x log x + (1 − x) log (1 − x) se (x, y) ∈ Γ \ {(0, 0), (1, 0)},

 1

 x log x + (1 − x) log (1 − x) se (x, y) ∈ Γ \ {(1, 0), (0, 1)},

2

ϕ(x, y) =  y log y + (1 − y) log (1 − y) se (x, y) ∈ Γ \ {(0, 0), (0, 1)},

 3

 0 se (x, y) ∈ {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}.

È quindi sufficiente cercare punti di estremo su uno qualunque dei tre lati Γ , per

i

n o

2

R

i = 1, 2, 3. Consideriamo Γ = (x, y) ∈ : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 . Posto ψ = ϕ ,

1 |Γ 1

R

allora ψ : [0, 1] → è definita da

 0 se x = 0,

ψ(x) = x log x + (1 − x) log (1 − x) se 0 < x < 1,

 0 se x = 1.

I punti di estremo di ϕ su Γ sono i punti (x, y(x)) con x di estremo per ψ. Si

1 0

ha che ψ è continua su [0, 1] e derivabile su (0, 1) con ψ (x) = log x − log (1 − x).

1 1

0 0

Quindi ψ (x) = 0 se e solo se x = e ψ (x) > 0 se e solo se x > . Quindi il

2 2

1

punto x = è di minimo assoluto per ψ e i punti x = 0, 1 sono di massimo locale

2

per ψ. Essendo ψ(0) = ψ(1) = 0 questi punti sono di massimo assoluto per ψ. Ne

³ ´

1

segue che il punto , 0 è di minimo assoluto per ϕ su Γ e i punti (0, 0) e (1, 0)

1

2 ³ ´

1 1

sono di massimo assoluto per ϕ su Γ . Analogamente si ha che il punto , è di

1 2 2

minimo assoluto per ϕ su Γ e i punti (1, 0) e (0, 1) sono di massimo assoluto per

2

³ ´

1

ϕ su Γ , il punto 0, è di minimo assoluto per ϕ su Γ e i punti (0, 0) e (0, 1)

2 3

2

sono di massimo assoluto per ϕ su Γ . Essendo

3

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1

ϕ , 0 = ϕ , = ϕ 0, = − log 2,

2 2 2 2

ϕ(0, 0) = ϕ(1, 0) = ϕ(0, 1) = 0,

µ ¶

1 1

ϕ , = − log 3,

3 3

si ha che i punti (0, 0), (1, 0) e (0, 1) sono di massimo assoluto per ϕ su M

ϕ

³ ´

1 1

e il punto , è di minimo assoluto per ϕ su M . In conclusione i punti

ϕ

3 3 ´

³ 1 1

1

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sono di massimo assoluto per f su M e il punto , ,

3 3 3

è di minimo assoluto per f su M .

2 2 3

y −z ∞ R

è di classe C su . L’insieme

e) La funzione f (x, y, z) = 2

1+x

n o

3 2 2 2

R

M = (x, y, z) ∈ : x + y + z ≤ 4

24 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

è compatto. Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo

su M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

int(M ) = (x, y, z) ∈ : x + y + z < 4 .

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y, z) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y, z) = 0. Si ha che

2 2

∂f ∂f ∂f

2x(y − z ) 2y 2z

(x, y, z) = − , (x, y, z) = , (x, y, z) = − .

2 2 2

∂x ∂y 1 + x ∂z 1 + x

2

(1 + x )

Quindi ( y =0

∇f (x, y, z) = 0 ⇐⇒ z = 0.

Quindi i punti stazionari interni a M sono i punti (x, 0, 0) con |x| < 2. Osserviamo

che anche (±2, 0, 0) sono stazionari per f su M ma non sono interni a M . Si ha che

f (x, 0, 0) = 0 per ogni |x| ≤ 2. Inoltre, fissato un punto (x , 0, 0) con |x | ≤ 2 si

0 0

ha che per ogni intorno I di questo punto esistono punti del tipo (x, y, 0) e (x, 0, z)

appartenenti a I ∩ M tali che

f (x, 0, z) < 0 < f (x, y, 0).

Quindi i punti (x, 0, 0) per ogni |x| ≤ 2 non sono né di massimo né di minimo per

f su M .

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

3 2 2 2

R

∂M = (x, y, z) ∈ : x + y + z = 4 . 3

∞ R

Essendo f di classe C e ∂M una varietà di dimensione 2 in , allora i punti di

estremo su ∂M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su ∂M . Procedia-

2 2 2

mo con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y, z) = x +y +z −4,

consideriamo la funzione ³ ´

2 2

y − z 2 2 2

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = − λ x + y + z − 4 .

2

1 + x

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, z, λ) tali che ∇L(x, y, z, λ) = 0.

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 25

Si ha che  2 2

2x(y − z )

∂L

 (x, y, z, λ) = − − 2λx

 2

∂x

 2

(1 + x )

 2y

∂L

 (x, y, z, λ) = − 2λy

 2

∂y 1+ x

 ∂L 2z

 (x, y, z, λ) = − − 2λz

 2

∂z 1 + x

 ³ ´

 ∂L

 2 2 2

 (x, y, z, λ) = − x + y + z − 4 .

∂λ

Quindi ¸

·

 2 2

y −z

 + λ = 0

−2x

 2

2

(1+x )

 ³ ´

 1

2y − λ =0

2

∇L(x, y, z, λ) = 0 ⇐⇒ 1+x

 ³ ´

 1

−2z + λ =0

 2

 1+x

 2 2 2

x + y + z = 4.

Si ottengono quindi i punti stazionari (0, 0, ±2, −1), (0, ±2, 0, 1), (±2, 0, 0, 0) di L.

Quindi i punti stazionari vincolati di f su ∂M sono (0, 0, ±2), (0, ±2, 0), (±2, 0, 0).

Per quanto detto in precedenza, i punti (±2, 0, 0) non sono né di massimo né di

minimo per f su M . Inoltre si ha che

f (0, 0, ±2) = −4, f (0, ±2, 0) = 4.

Quindi i punti (0, ±2, 0) sono di massimo assoluto per f su M , i punti (0, 0, ±2)

sono di minimo assoluto per f su M . 3

2

2 −y ∞ R

f ) La funzione f (x, y, z) = (1 + z ) e è di classe C su . L’insieme

n o

2 2

3 2 −y −z

R

M = (x, y, z) ∈ : x + 4 ≤ 8e

è chiuso e limitato. Infatti, si ha che p

 2 2

−y −z

|x| ≤ 8e − 4 ≤ 2,

 h i

(x, y, z) ∈ M =⇒  1

2 2 2

y + z ≤ − log (x + 4) ≤ log 2.

8

Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

2 2

3 2 −y −z

R

int(M ) = (x, y, z) ∈ : x + 4 < 8e .

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y, z) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y, z) = 0. Si ha che

³ ´

∂f ∂f

∂f 2 2

2 −y −y

(x, y, z) = 0, (x, y, z) = −2y 1 + z e , (x, y, z) = 2z e .

∂x ∂y ∂z

26 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Quindi ( y =0

∇f (x, y, z) = 0 ⇐⇒ z = 0.

Quindi i punti stazionari interni a M sono i punti (x, 0, 0) con −2 < x < 2.

Osserviamo che anche (±2, 0, 0) sono stazionari per f su M ma non sono interni

a M . Per stabilire se questi punti sono di massimo, di minimo oppure né l’uno né

l’altro, determiniamo gli autovalori della matrice Hessiana di f in questi punti. Si

ha che ³ ´³ ´

2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f 2

2

2 2 −y −y

(x, y, z) = 0, (x, y, z) = 1 + z (x, y, z) = 2 e ,

4y − 2 e ,

2 2 2

∂x ∂y ∂z

2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f 2

−y

(x, y, z) = (x, y, z) = 0, (x, y, z) = −4yz e .

∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z

Quindi per ogni −2 < x < 2 si ha che  

0 0 0

 

H (x, 0, 0) = 0 −2 0

f 0 0 2

e gli autovalori sono 0, −2, 2. Ne segue che i punti (x, 0, 0) non sono né di massimo

né di minimo per f .

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

2 2

3 2 −y −z

R

∂M = (x, y, z) ∈ : x + 4 = 8e .

3

∞ R

Essendo f di classe C e ∂M una varietà di dimensione 2 in , allora i punti di es-

tremo su ∂M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati di f su ∂M . Procediamo

2 2

2 −y −z

con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y, z) = x + 4 − 8e ,

consideriamo la funzione ³ ´ ³ ´

2 2 2

2 −y 2 −y −z

L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) = 1 + z e − λ x + 4 − 8e .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, z, λ) tali che ∇L(x, y, z, λ) = 0.

Si ha che  ∂L

 (x, y, z, λ) = −2λx

 ∂x

 ∂L

 2

 2 −y

(x, y, z, λ) = −2y(1 + z )e − 16λy

 ∂y

 ∂L

 2

−y

 (x, y, z, λ) = 2ze − 16λz

 ∂z

 ³ ´

 ∂L

 2 2

2 −y −z

 (x, y, z, λ) = − x + 4 − 8e .

∂λ


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vipviper

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dell'autoveicolo
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher vipviper di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Nicola Fabio.

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