Punti di massimo e di minimo

R

M = (x, y) ∈ : x + y + xy − 1 = 0

è compatto. Infatti, è chiuso in quanto complementare di

n o n o

2 2

2 2 2 2

R R

(x, y) ∈ : x + y + xy − 1 > 0 ∪ (x, y) ∈ : x + y + xy − 1 < 0

che è aperto in quanto unione di due aperti. Inoltre è anche limitato. Infatti, se

non lo fosse, allora esisterebbero in M punti (x, y) con |x| o |y| arbitrariamente

2 2

grande. Ma se (x, y) ∈ M , allora x + y = 1 − xy. Quindi

2 2 2 2

|x| o |y| → +∞ =⇒ x + y → +∞ =⇒ xy → −∞ con xy ∼ −(x + y ).

2 2

Ne segue che deve essere y ∼ −x, cioè −x ∼ xy ∼ −2x per |x| → +∞: assurdo.

2 2

In modo del tutto equivalente, si osserva che la curva x + y + xy − 1 = 0 è

l’equazione di un’ellisse reale. Infatti, la matrice associata al polinomio g(x, y) =

2 2

x + y + xy − 1 e la matrice dei termini di secondo grado del polinomio g sono

rispettivamente  

1

1 0 ¶

µ 1

2 1

12

  2

B = .

1 0 , A = 1 1

2

0 0 −1

34 34

Si ha che det A = , tr (A) = 2 e det B = − 6 = 0. Essendo det A > 0 e tr (A) ·

det B < 0, si ha che la conica g(x, y) = 0 è un’ellisse reale.

Quindi per il Teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo su M . Essendo

2

∞ R

f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in , allora i punti di estremo

su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati. Procediamo con il metodo dei

moltiplicatori di Lagrange. Consideriamo la funzione

³ ´

2 2

L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = xy − λ x + y + xy − 1 .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, λ) tali che ∇L(x, y, λ) = 0.

Si ha che  ∂L



 (x, y, λ) = y − λ(2x + y)





 ∂x







 ∂L (x, y, λ) = x − λ(x + 2y)

 ∂y







 ³ ´

 ∂L



 2 2

 (x, y, λ) = − x + y + xy − 1 .

∂λ

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 7

Quindi 

 y(1 − λ) = 2λx (y − x)(1 + λ) = 0



 

 

 ⇐⇒

∇L(x, y, λ) = 0 ⇐⇒ x(1 − λ) = 2λy x(1 − λ) = 2λy

 

 

 

2 2 2 2

x + y + xy = 1 x + y + xy = 1.

³ ´ ´

³

√ √ √

√

3 3 3 3

1 1

I punti stazionari di L sono (1, −1, −1), (−1, 1, −1), , , , − , − ,

3 3 3 3 3 3

´

³ √

√

3 3 ,

di L. Quindi i punti stazionari vincolati di f su M sono (1, −1), (−1, 1), ,

3 3

³ ´

√ √

3 3

− . Essendo

, −

3 3 Ã ! Ã !

√ √ √ √

3 3 3 3 1

f (1, −1) = f (−1, 1) = −1, f , = f − , − = ,

3 3 3 3 3

³ ´ ³ ´

√

√ √ √

3 3 3 3

e − sono punti di massimo assoluto di f su M e

si ha che , , −

3 3 3 3

(1, −1) e (−1, 1) sono punti di minimo assoluto di f su M .

¡ ¢ 2

4 4 2 2 ∞ R

e) La funzione f (x, y) = x + y − 8 x + y è di classe C su . L’insieme M =

n o

2 2 2

R

(x, y) ∈ : x + y ≤ 9 è compatto. Quindi per il Teorema di Weierstrass f

ammette massimo e minimo su M . y

4

3

2

1 x

0

−4 −2 0 2 4

−1

−2

−3

−4

Fig. 4: L’insieme M . In azzurro int(M ) e in blu ∂M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

2 2 2

R

int(M ) = (x, y) ∈ : x + y < 9 .

∞

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y) = 0. Si ha che

∂f ∂f

3 3

(x, y) = 4x − 16x, (x, y) = 4y − 16y.

∂x ∂y

8 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Quindi i punti stazionari di f in int(M ) sono: (0, 0), (0, ±2), (±2, 0), (±2, ±2). Per

stabilire se sono di massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana

di f in questi punti. Si ha che

2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f

2 2

(x, y) = 12x − 16, (x, y) = 12y − 16, (x, y) = 0.

2 2

∂x ∂y ∂x∂y

Quindi la matrice Hessiana di f in (x, y) è

à !

2

12x − 16 0

H (x, y) = .

f 2

0 12y − 16

Ne segue che ¶

µ −16 0

H (0, 0) = =⇒ (0, 0) è un punto di massimo locale per f su M ;

f 0 −16

µ ¶

−16 0

H (0, ±2) = =⇒ (0, ±2) sono punti di sella per f su M ;

f 0 32

µ ¶

32 0

H (±2, 0) = =⇒ (±2, 0) sono punti di sella per f su M ;

f 0 −16

µ ¶

32 0

H (±2, ±2) = =⇒ (±2, ±2) sono punti di minimo locale per f su M .

f 0 32

Il massimo locale è f (0, 0) = 0 e il minimo locale è f (±2, ±2) = −32.

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

2 2 2

R

∂M = (x, y) ∈ : x + y = 9 . 2

∞ R

Essendo f di classe C e M una varietà di dimensione 1 in , allora i punti di

estremo su M vanno cercati fra i punti stazionari vincolati. Procediamo con il

2 2

metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto g(x, y) = x + y − 9, consideriamo

la funzione ³ ´ ³ ´

4 4 2 2 2 2

L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = x + y − 8 x + y − λ x + y − 9 .

Cerchiamo i punti stazionari di L, ossia i punti (x, y, λ) tali che ∇L(x, y, λ) = 0.

Si ha che  ∂L



 3

(x, y, λ) = 4x − 16x − 2λx





 ∂x







 ∂L 3

(x, y, λ) = 4y − 16y − 2λy

 ∂y







 ³ ´

 ∂L



 2 2

 (x, y, λ) = − x + y − 9 .

∂λ

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 9

Quindi ¡ ¢

 2

2x 2x − 8 − λ = 0





 ¡ ¢

2

∇L(x, y, λ) = 0 ⇐⇒ 2y 2y − 8 − λ = 0





 2 2

x + y = 9.

³ ´

√ √

3 32

±

I punti stazionari di L sono (0, ±3, 10), (±3, 0, 10), 2, ± 2, 1 . Quindi i

2 ³ ´

√ √

32 3

punti stazionari vincolati di f su M sono (0, ±3), (±3, 0), ± 2, ± 2 . Es-

2

sendo f (0, ±3) = f (±3, 0) = 9 > 0 = f (0, 0),

µ ¶

√ √

3 3 63

f ± 2, ± 2 = − > −32 = f (±2, ±2),

2 2 2

si ha che (0, ±3) e (±3, 0) sono punti di massimo assoluto per f su M , mentre

(±2, ±2) sono punti di minimo assoluto per f su M . 2

2 2 ∞ R

f ) La funzione f (x, y) = 2x + y − x è di classe C su . L’insieme M =

n o

2 2 2

R

(x, y) ∈ : x + y ≤ 1 è compatto. Quindi per il Teorema di Weierstrass

f ammette massimo e minimo su M . y

1.5

1.0

0.5 x

0.0

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−0.5

−1.0

−1.5

Fig. 5: L’insieme M . In azzurro int(M ) e in blu ∂M .

Cerchiamo inizialmente i punti di estremo interni a M , ossia in

n o

2 2 2

R

int(M ) = (x, y) ∈ : x + y < 1 .

10 Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

∞

Essendo f di classe C , i punti di estremo in int(M ) vanno cercati fra i punti

stazionari, ossia fra i punti (x, y) ∈ int(M ) tali che ∇f (x, y) = 0. Si ha che

∂f ∂f

(x, y) = 4x − 1, (x, y) = 2y.

∂x ∂y ´

³ 1

Quindi l’unico punto stazionario di f in int(M ) è , 0 . Per stabilire se è di

4

massimo, di minimo o di sella, calcoliamo la matrice Hessiana di f in questo punto.

Si ha che 2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f

(x, y) = 4, (x, y) = 2, (x, y) = 0.

2 2

∂x ∂y ∂x∂y

´

³ 1 , 0 è

Quindi la matrice Hessiana di f in 4 ¶ µ

µ ¶

1 4 0

, 0 = .

H

f 0 2

4

³ ´

1

Ne segue che , 0 è un punto di minimo locale per f su M e il minimo locale è

4

³ ´

1 18

f , 0 = − .

4

Cerchiamo ora i punti di estremo sul bordo di M , ossia in

n o

2 2 2

R

∂M = (x, y) ∈ : x + y = 1 .

2 2

Per ogni (x, y) ∈ ∂M si ha che y = 1 − x . Posto ϕ = f , si ha che ϕ : [−1, 1] →

|∂M

R è definta da 2

ϕ(x) = f (x, y(x)) = x − x + 1.

I punti di estremo di f su ∂M sono i punti (x, y(x)) con x di estremo per ϕ.

∞

Essendo ϕ di classe C sull’intervallo chiuso e limitato [−1, 1], i suoi punti di

estremo vanno cercati tra i punti stazionari e gli estremi dell’intervallo [−1, 1]. Si

1

0 0 0

ha che ϕ (x) = 2x − 1. Quindi ϕ (x) = 0 se e solo se x = e ϕ (x) > 0 se e solo se

2

1 1

< x ≤ 1. Ne segue che x = è un punto di minimo per ϕ. Inoltre x = ±1 sono

2 2

punti di massimo locale per ϕ. Più precisamente, essendo ϕ(−1) = 3 e ϕ(1) = 1,

si ha che x = −1 è un punto di massimo assoluto per ϕ, mentre x = 1 è un punto

³ ´

√

3

1

di massimo locale per ϕ. Quindi , ± sono punti di minimo assoluto per f

2 2

su ∂M , (−1, 0) è un punto di massimo assoluto per f su ∂M e (1, 0) è un punto

di massimo locale per f su ∂M . Essendo

à !

√ µ ¶

1 3 3 1 1

f , ± = > − = f , 0

2 2 4 8 4

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti 11

³ ´

1

si ha che , 0 è il punto di minimo assoluto per f su M , mentre (−1, 0) è un

4

punto di massimo assoluto per f su M . 2

2 2 ∞ R

g) La funzione f (x, y) = 3x + 4y − 6x − 12 è di classe C su . L’insieme M =

n o

2 2