Logaritmi - teoria ed esercizi sulle equazioni

Introduzione ai logaritmi

y = log₂(x)

a = base

x = argomento

Esempi

2^x = 7

x = log₂(7)

2^x = 7

Il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento: 3 = log₂(8)?

2³ = 8

7 = log₅(25) ?

5⁷ ≠ 25

Conseguenza

log₅(25) = 2 ⇒ 5² = 25

log₅(5²) = 2

log₃(3) = 2

Caso importante

Come scrivere 0 e 1 in forma logaritmica: (uso log in base 3)

• 0 = log₃(...)
• 3⁰ = ... → 3⁰ = 1
• 0 = log₃(1)
• 1 = log₃(...)
• 3¹ = ... → 3¹ = 3
• 1 = log₃(3)

Grafici logaritmici

y = log_a(x)

0 < a < 1

a > 1

Nota Bene: le due funzioni sono l'inverso l'una dell'altra.

Logaritmi specifici

y = log_a(x) con a = BASE e x = argomento

2^x = 7

x = log₂(7)

2^x = 7

Il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento: 3 = log₂(8) SÌ

2³ = 8

7 = log₅(25) ? NO

5⁷ ≠ 25

log₅(25) = 2

5² = 25

log₅(5²) = 2

log₃(9) = 2

Caso importante

Come scrivere 0 e 1 in forma logaritmica: (uso log in base 3)

• 0 = log₃(...)
• 3⁰ = ... → 3⁰ = 1
• 0 = log₃(1)
• 1 = log₃(...)
• 3¹ = ... → 3¹ = 3
• 1 = log₃(3)

Grafici logaritmici

0 < a < 1

a > 1

Nota Bene: le due funzioni sono l'inverso l'una dell'altra.

Ogni R si deduce che il dominio del logaritmo è argomento > 0.

y = log_e(x) dominio: x > 0

log_e(e) = ln(e) = 1

Proprietà dei logaritmi

1. log(x+1) + log(x-3) = log[(x+1)(x-3)]
2. log(x-1) - log(x+2) = log[(x-1)/(x+2)]
3. log(x-1)² = 2 log(x-1)

Equazioni logaritmiche

227) log₂(⁵/₄x - 1) = -2

1. Calcolo il dominio del log: ⁵/₄x - 1 > 0
2. x > ⁴/₅
3. log₂(⁵/₄x - 1) = -2
4. Scrivo i numeri in forma logaritmica con la base che compare nell’equazione
5. -2 = log₂(2^-2) = log₂(¹/₂²) = log₂(¹/₄)
6. Comparo i log usando le proprietà A, B, C per ottenere una forma tipo: log g(A) = log g(B)
7. (⁵/₄x - 1) = ¹/₄
8. x > ⁴/₅
9. log₂(⁵/₄x - 1) = log₂(¹/₄)
10. Uguaglio gli argomenti evidenziati in giallo
11. ⁵/₄x - 1 = ¹/₄
12. ⁵/₄x = ¹/₄ + 1
13. ⁵/₄x = ⁵/₄
14. x = 1
15. Controllare se la soluzione trovata è accettabile con il dominio

Dominio evidenziato in arancione: X = 1

314) log(x-1) - log(x+1) = log(x-3) - log(x-2)

1. X-1 > 0 ⇒ X > 1
2. X+1 > 0 ⇒ X > -1
3. X-3 > 0 ⇒ X > 3
4. X-2 > 0 ⇒ X > 2
5. X > 3

log(x-1) - log(x+1) = log(x-3) - log(x-2)

log((x-1)/(x+1)) = log((x-3)/(x-2))

X-1 - X-3 (X-1) (X-2) = (X-3) (X+1)

X+1 - X-2 (X+1) (X-2) = (X+1) (X-2)

X² - 2X - X + 2 = X² + X - 3X - 3

-3X + 2X + 3 = 0

-X = -5

X = 5

log₂(X+1) > log₂(3X)

X+1 < 3X