La cupola scabra

La cupola scabra

Lavoro ed energia

fisica

esercizi

Un corpo di massa m si trova in A sulla cima di una cupola semisferica di raggio R = 1 m (vedi Figura. 4.9 ). Il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e la superficie della cupola sia μ = 0,15. Determinare l’angolo θ₀ minimo definito nella figura dai raggi OA ed OA₀ oltre il quale il corpo inizia a scivolare sulla superficie della semisfera. Determinare poi la velocità tangenziale iniziale v₀ che deve avere il corpo per giungere da A alla posizione A₀ con velocità “quasi nulla”. Se infine il corpo scivola oltre la posizione A₀, quale sarà l’angolo θ_s corrispondente al distacco del corpo dalla superficie della cupola? Quale il modulo della velocità v_s del corpo al momento del distacco?

Nota: In questo problema si fa l’ipotesi che la forza tangenziale di attrito sia in ogni punto del percorso: f = − μ m g cosθ.

(Figura 4.9)

L'equazione (5), utilizzando la (6) ed ancora la (1), con qualche passaggio algebrico si riduce a:

v² = ^{2g R}/_{cos θ0} [1−(cos θ₀+sen θ sen θ₀)] (7)

Servendoci ora delle formule trigonometriche di addizione e sottrazione, osserviamo che cosθ cosθ₀ + senθ senθ₀ = cos(θ−θ₀). Pertanto la (7) assume la forma definitiva più semplice:

v² = ^{2g R}/_{cos θ0} [1−cos(θ−θ₀)] (8)

Si tratta adesso di scrivere la condizione per il distacco del corpo dalla superficie sferica. Occorre cioè che la componente radiale della forza peso deve almeno uguagliare la forza centrifuga (o essere inferiore ad essa). Dunque:

m g cosθ = ^{m v2}/_R (9)