La pallina e la cupola semisferica

La pallina e la cupola semisferica

Impulso e Quantità di Moto

Una pallina di massa m = 100 g cade verticalmente con velocità v₀ = 5 m/s sul punto P di una cupola semisferica di massa M = 1 Kg con inclinazione θ = 45° rispetto alla normale in P alla cupola la quale giace su di un piano orizzontale senza attrito. La pallina rimbalza elasticamente con direzione deviata di un angolo φ rispetto alla normale n. Calcolare la velocità V della cupola, quella v della pallina dopo il rimbalzo e la deviazione φ. Discutere infine il problema al variare del rapporto m/M = μ.

Il rimbalzo elastico della pallina garantisce la conservazione dell’energia cinetica e la conservazione della quantità di moto nella direzione orizzontale. Inoltre, poiché la pallina non subisce forze esterne nella direzione tangenziale alla cupola, essa dovrà conservare la propria quantità di moto in quella direzione. Pertanto, con l’aiuto della Figura 5.10, possiamo scrivere le seguenti equazioni scalari:

• (½) m v₀² = (½) M V² + (½) m v² conservazione dell’energia cinetica
• m v sin (θ + φ) – M V = 0 conservazione della quantità di moto orizzontale
• m v₀ senθ = m v senφ conservazione della quantità di moto della pallina nella direzione tangenziale alla cupola

V= _{μv0senθsen(θ+φ)}/^senφ

da cui, ponendo θ=45° e sviluppando sen(θ+φ), si trova:

V= _{μv0(^cosφ/√2+^senφ/√2)}/^√2senφ

ricordando poi che cotgφ = (2 - μ)/(2 + μ) e dividendo numeratore e denominatore per senφ, con qualche passaggio algebrico deduciamo:

V= _2v0μ/^2+μ

possiamo quindi calcolare il limite:

lim_μ→∞(_2v0μ/^2+μ)=2v₀

Il risultato ci permettere di concludere che, se m >> M, allora V ≅ 2v₀.

Caso 3). Poiché tgφ → ∞ possiamo dedurre che φ ≅ 90°. Questo valore di φ indica che la pallina rimbalza lungo la direzione tangenziale alla cupola, quando si verifica la condizione m=2M. Per le velocità troviamo: v = v₀/√2 e V = v₀.

Caso 4). Con m=M, φ = arctg3 ≅ 71°,5, otteniamo infine: v ≅ 0,75 v₀ e V = (2/3) v₀

Nota: Per un calcolo più preciso di V, dovremmo esprimere senφ in funzione di tgφ [senφ = tgφ/√1+tg²φ = 3/√1+9 = 3/√10 ] ottenendo così:

v = (√2/2)(√10/3) v₀ = (√5/3)v₀ ≅ 0,75 v₀.