Integrazione di funzioni razionali fratte, esempi svolti

Aprile 2021

2

∫ =

2

− 6 + 9

Δ=0 2

∫

2

( − 3) −2

= 2 ∫( − 3)

−2+1

( − 3)

=2 +

−2 + 1

2

=− +

−3 2

Aprile 2021

3

∫ =

2

− 10 + 25

Δ=0 3

∫

2

( − 5) −2

= 3 ∫( − 5)

−2+1

( − 3)

=3 +

−2 + 1

3

=− +

−5

3

= +

5−

∫ =

2

− 4 + 4

1 2

= ∫

2

2 − 4 + 4

1 2 − 4 + 4

= ∫

2

2 − 4 + 4

1 2 − 4 1

= + 4 ∫ ]

[∫ 2 2

2 − 4 + 4 − 4 + 4

1 2 − 4 1

= + 4 ∫ ]

[∫ 2 2

(

2 − 4 + 4 − 2)

1 2 − 4 −2

= ∫ + 2 ∫( − 2)

2

2 − 4 + 4

1 2

2

= ln( − 2) − +

2 −2

2

= ln| − 2| − +

−2 3

Aprile 2021

2 − 1 2 − 1

=

2 2

(

+ 2 + 1 + 1)

In alternativa con il metodo di sostituzione: 4

Aprile 2021

4 + 1 4 − 1

=

2 2

(2

4 + 4 + 1 + 1)

Usiamo la sostituzione !!

1 1

=

2 2

+ 4 + 5 + 4 + 1 + 4 Δ<0

1

= 2

( + 4 + 4) + 1

1

= 2

(

1 + + 2)

1 1

∫ = ∫

2 2

(

+ 4 + 5 1 + + 2)

1

=∫ = arctan( + 2) +

2

(

1 + + 2) 5

Aprile 2021

1 1

=

2 2

+ 2 + 2 + 2 + 1 + 1

2=1+1 1

= 2

( + 2 + 1) + 1

1

= 2

(

1 + + 1) Δ<0

1 1

∫ = ∫

2 2

(

+ 2 + 2 1 + + 1)

1

=∫ = arctan( + 1) +

2

(

1 + + 1) 2 2 1

= =

2 2

2 9 9

9 +4 4( + 1) 2 ( + 1)

4 4

1 1

= 2

2 3

[( ) + 1]

2 3

1 2 2

= ⋅ ⋅ 2

2 3 3

[( ) + 1]

2

3

1 2

= ⋅ 2

3 3

[( ) + 1]

2 3

1 1 3

2

∫ = ∫ = arctan ( ) +

2

+ 3 3 2

3

[( ) + 1]

2 6

Aprile 2021

Usiamo il metodo del completamento del quadrato del binomio per modificare il denominatore !!

Raccogliamo 9 a fattor comune e aggiungiamo e sottraiamo il quadrato del coefficiente b:

1 1 1 1 1 1

= = =

6 5 2 5 2 5 4 4

2

9 − 6 + 5 9 9

2 2 2

9 ( − + ) ( − + ) ( − + + − )

9 9 3 9 3 9 9 9

Raggruppiamo i termini del quadrato esatto:

1 1 1

= 2 5 4 4

2

9 − 6 + 5 9 2

( − + − ) +

3 9 9 9

1 1 1

= 2 1 4

2

9 − 6 + 5 9 2

( − + ) +

3 9 9

1 1 1

= 2

2

9 − 6 + 5 9 1 4

( − 3) + 9

Raccogliamo 4/9 a fattor comune per avere il coefficiente 1:

1 1 1

=

2 2

9 − 6 + 5 9 4 9 3 − 1

[ ( ) + 1]

9 4 3

1 1 9 1 1 1

= ⋅ = ⋅ 2

2

2

9 − 6 + 5 9 4 4 3 − 1

(3

9 − 1) 1+( )

[ + 1] 2

4 9

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 3/2 in modo da avere f’(x):

3

1 1 2 2

= ⋅ 2

2

9 − 6 + 5 4 3 3 − 1

1+( )

2

3

1 1 2

= ⋅ 2

2

9 − 6 + 5 6 3 − 1

1+( )

2

Ed ora integriamo: 3

1 1 1 3 − 1

2

∫ = ⋅ ∫ = arctan ( )+

2

2

9 − 6 + 5 6 6 2

3 − 1

1+( )

2 7

Aprile 2021

4 =

2

+ 6 + 11

4

= 2

+ 6 + 9 + 2

4

= 2

( + 3) + 2

1 4

= 2

2 +3

[( ) + 1]

√2

1

=2 2

+3

( ) +1

√2 √2

2 2

=2⋅ 2

+ 3

√2 ( ) +1

√2

√2

2

= 2√2 2

+3

( ) +1

√2 √2

4 +3

2

∫ = 2√2 ∫ = 2√2 arctan ( )+

2

2

+ 6 + 11 +3 √2

( ) +1

√2

Volendo usare la sostituzione….

4 1

∫ = 2 ∫

2

2

+ 6 + 11 +3

( ) +1

√2

+3

= → − 3 = → =

√2 √2

√2 1 1 1

2∫ = ∫ = 2√2 ∫

√2

2 2 2

1+ 1 +

+3

( ) +1

√2

= 2√2 arctan +

+3

= 2√2 arctan +

√2 8

Aprile 2021

−1 =

2

4 + 4 + 5 1

=− 5

2

4 ( + + − 1 + 1)

4

1 1

=− 2

4 1

( + 2) + 1

−1 1 1 1 1

∫ = − ∫ = − arctan ( + ) +

2

2

4 + 4 + 5 4 4 2

1

( + 2) + 1 9

Aprile 2021

10

Aprile 2021

11

Aprile 2021

12