Integrali: Esercizi e Prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Significato dell'integrale

Considero una molla vincolata all'estremo "O" spostata dalla posizione di riposo tramite una forza F applicata all'estremo libero P.

Dove

F = k(x - x₀)

Il lavoro è

L = F · s

Ma se lo spostamento fosse piccolissimo s = dx avrò un valore infinitesimo del lavoro pari a

dL = F · dx

Se il punto d'applicazione si sposta di x - x₀, il valore di F sarà

L ≃ Σ F · dx

Quest'espressione è tanto corretta quanto dx è piccolo e fornisce il lavoro effettivo quando dx → 0

L = lim Σ F · dx

dove

L = ∫_x₀^x F · dx

Dove ∫ è il simbolo di rappresentazione che rappresenta il limite di una somma.

Dal punto di vista matematico la ricerca dell'integrale indefinito di una funzione f(x) si esprime nel modo seguente

∫ f(x) dx

dove f(x) è la funzione integranda e ∫ è un operatore.

L'intuito è quello di portare da una funzione f(x) ed operatore ad un'altra funzione F(x). Tale che

D F(x) = d/dx [F(x)] = f(x)

ovvero:

∫ f(x) dx = F(x) ovvero F(x) è la primitiva di f(x)

9) ∫ (x-1)/(4+x²) dx

= ∫ x/(4+x²) dx - ∫1/(4+x²) dx

= ∫ dx²/(4+x²) - arctg x + c = 1/2 ln|4+x²| - arctg x + c

10) ∫ 1/√(4+x²) dx

= ∫ 1/√(4t²) dx = ∫ √(1/4) * ∫ √(4+ x²) = 1/2 ∫ √(1/4 + x²)

= 1/2 * ( x * 4+x²)

= 1/2(x * x √4 + x²) = 1/4 * x + c

Esercizio

a) ∫ (x + 1) / (x² - 5x + 6) dx

g(x) = x² - 5x + 6 => x² - 5x + 6 = 0

x = (5 ± √25 - 24) / 2, Δ > 0 => 2 radici reali

Scampo g(x) tramite Ruffini

• 1 -5 6
• 2 2
• 1 -3

=> g(x) = (x - 2) (x - 3)

Quindi

(x + 1) / (x² - 5x + 6) = (x + 1) / ((x - 2)(x - 3)) = piantando la tabella = A / (x - 2) + B / (x - 3) =>

A(x - 3) + B(x - 2) / ((x - 2)(x - 3)) = (A + B)x - (3A + 2B) / ((x - 2)(x - 3)) = (x + 1) / ((x - 2)(x - 3)) =>

{(A + B) x = x (-3A + 2B) = 1

= A = -3 B = 4

= (x + 1) / ((x - 2)(x - 3)) = A / (x - 2) + B / x - 3 = -3 / (x - 2) + 4 / (x - 3)

Ritorna all'integrale

∫ (x + 1) / (x² - 5x + 6) dx = -3 ∫ 1 / (x - 2) dx + 4 ∫ 1 / (x - 3) dx = -3 log |x - 2| + 4 log |x - 3| + C

b) ∫ (x² + 1) / (x³ - x² + 1 - x) dx

g(x) = x³ - x² - x + 2 => x³ - x² + x + 4 = 0 => x (x² - x + 1) + 1 = 0 =>

x² - 1

1 -2 1

x² - x - 1=0 2 radici reali x = 1

Scampo g(x) tramite Ruffini

• 1 -1 -1 1
• -1 1 -2 1
• 1 -2 1

=> g(x) = (x + 1)(x² - 2x + 2)

Integrali del tipo

∫ sen px cos qx dx

Esempi:

1. ∫ sen 4x cos 2x dx
   • sen α cos β = ½ [cos (α - β) + cos (α + β)]
   • cos α sen β = ½ [sin (α + β) - sin (α - β)]
   • cos α cos β = ½ [cos (α + β) + cos (α - β)]
   • sen α sen β = ½ [cos (α - β) - cos (α + β)]
2. ∫ sen 4x cos 2x dx = ½ [∫ cos 6x + 2x) + sen (4x - 2x) dx = ½ ∫ sen 6x dx + ½ ∫ sen 2x dx =
3. = ¼ [∫ sen 6x dx + ¼ ∫ sen 2x dx = -&frac1; ₁₂ cos 6x - ¼ cos 2x + C

Integrali del tipo

∫ sen px - sen qx dx

Esempi:

1. ∫ sen 4x - sen 2x dx
   • Applico Werner
   • ∫ sen 4x - sen 2x dx = ½ [cos ((4x - 2x) - cos (4x + 2x)) dx = ½ ∫ cos2x - ½ ∫ cos6x dx =
   • = ½ [∫ cos 6x dx = ¼ cos 2x - &frac1; ₁₂ sen 6x + C

Integrali del tipo

∫ cos px cos qx dx

Esempi:

1. ∫ cos 4x cos 2x dx
   • Applico Werner
   • ∫ cos 4x cos 2x dx = ½ [∫ cos(4x - 2x) + cos(4x + 2x)] dx = ½ [∫ cos 6x + cos 2x ] dx =
   • = ½ [∫ cos 6x dx + ½ [∫ cos 2x dx = &frac1; ₁₂ sin 6x + ¼ sen 2x + C

Integrali di funzioni irrazionali

Integrali del tipo

∫ F(x^1/2) dx

da produrre i giudici di razionalizzazione o pon. delle sostituzioni opportune

Esempio:

∫ (3 - √x) / √x + √x dx

Pongo: x = t^1/2, t = x^1/2, dx = 2x^1/2dt

∫ (3 - √x) / √x + √x dx = ∫ 4 - 2t^1/2 dt = ∫ t² (2t^1/2 - 4) / <t² + 1> = ∫ t^1/2 (t² - t^1/2) (4 + t^1/2) / 4 t^1/2 dt

12 ∫ (5(4 - t) (4 + t))_(') / t² + 4 dt = 12 Dividi il numeratore per il denominatore)

= ∫ &less;(12 t⁵ dt + 12 <t² - t^1/2 > + 12 t⁵ dt + 12 t³ dt + 12 >) dt + 12 > [t -1 t] dt ]

Andazio il ottimo integrale

= ∫ <2t +1> dt = 12 /t² - <t + 1 / t² - 1> dt = 6 ∫ < - 6< 12 > / t² dt, - 6 ∫ ∆ / t² - 1 dt)

Andazio il ottimo integrale

= ∫ 1/t² <² + 4/ t> 1 dt = ∫ 1 / (t²) </3z -31/= a

= 2√3 avv1 2t +1 *C

Quanto resistiamo t= t^1/2x

-4 /√x andvi