Integrali doppi per studenti d'ingegneria

Integrali doppi

Assunto un insieme H del piano x,y normale rispetto all'asse x se f(x,y) è una funzione continua in H vale la formula di riduzione

∬_H f(x,y) dx dy = ∫_a∫_c^d(x) f(x,y) dy dx = ∫_c^d ∫_a^b(y) f(x,y) dx dy

Ammettendo K un insieme normale rispetto all'asse y e x f(x,y) è continua in K vale la formula di riduzione

∬_K f(x,y) dx dy = ∫_c^d dy ∫_γ(y)^β(y) f(x,y) dx

Calcolare l’integrale doppio

∫∫ x y dx dy

dove S è il semicirchio chiuso di centro (1,0) e raggio 1 con y ≥ 0

la frontiera di S è costituita dall’unione della semicirconferenza

di equazione (x-1)² + y² = 1 ovvero y² = 2x - x² con y ≥ 0

e dal segmento della retta di equazione y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2

S è un insieme normale all'asse x ed è rappresentato nella forma

S : { (x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √(2x-x²) }

Quindi

∫∫ x y dx dy = ∫₀² ( ∫₀^√(2x-x2) x y dy dx )

dove

∫₀^√(2x-x2) x y dy = x ( y² / 2 )₀^√(2x-x2) = x ( (2x-x²) / 2 )

Quindi

∫∫ x y dx dy = ∫₀² ( x² - x³ / 2 ) dx = 2 / 3

| ∂x/∂θ ∂x/∂ρ |

| ∂y/∂θ ∂y/∂ρ |

| cosθ -ρsenθ |

| senθ ρcosθ | = ρ

Vol dell’ellisse

x = aρcosθ

y = ρsenθ

Jρ = aρρ

Calcolare il seguente integrale doppio:

∬_T(x + y) dx dy

dove T è il dominio compreso tra le curve di eq. 3x (x² + y²) = 2y e x (x² + y²) = 4 descritto in figura.

Date le simmetrie del dominio, l'integrale diventa:

2∬_T1 dx dy ovvero ho posto y = 0:

x = ρ cos θ y = ρ sin θ |J| = ρ

la curve di eq. 3x(x² + y²) = 2y diventa 3ρ cos θ ρ² = 2ρ sin θовvero ρ = 2 tg θcos θ

la curve di eq. x(x² + y²) = 4 diventa ρ³ = 4 => ρ = 2

Integ.₀² dρ ∫₀^π/3 ρ dθ (3/2 tg θ - 1)

sin 2θ/cos 2θ 2

2) ∫₀¹ f₂(x+y) dy + ∫₀¹ ∫₀^y g₂(x+y) dx = 2 ∫₀¹ ∫₀^x (∫_x¹ g₂(x+y) dy) dx = 2 ∫₀¹ (∫_x¹ xg₂(x+y) dy - x²∫_x¹ f₂(x+y) dy)

= 2 ∫₀¹ [x f₂(x+y) - y x f₂(x+y) - x² y]^y_x dy = 2 ∫₀¹ ∫₀^y (y² g₂(y+1) + g₂(y² + y) - g₂(y² - y))

= 2/ 2 f₂ = 1/2 f₂ - 4/3 = 4 / 3)

3) Calcolare l'integrale

∬_D x sen log^-x dx dy

D = [0,1] × [1,0]

x

-

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Anedro |y-x²| → y - x² = 0 → y = x²

→

1

y = x²

1

D₂ D₁

1

Dove seguire l'integrale in D₁ e D₂ l'integrare da in D₂ y^-x2 posso considerarlo serrere modello

|y-x²| ≤ y - x² ❶

Detrot: il punto (0,0) sodisfatto la ❶