Integrali di flusso per studenti d'ingegneria

Integrale di flusso

Il flusso uscente del campo vettoriale F dalla superficie costituita dal bordo D è calcolato tramite il Teorema di Gauss (o della divergenza).

∬_D F. n dS = ∭_divF (x, y, z) dx dy dz      dove posto F = (f₁, f₂, f₃) si ha che

div F (x, y, z) = ∂f₁ (x, y, z) / ∂x + ∂f₂ (x, y, z) / ∂y + ∂f₃ (x, y, z) / ∂z.

Quindi

∬ (f₁ i + f₂ j + f₃ k) . n dS = - ∭ (∂f₁ / ∂x + ∂f₂ / ∂y + ∂f₃ / ∂z ) dx dy dz

1) attività n. ellissi il flusso regolare il procedimento seguente:

1) passaggio in coordinate torriche o cilindriche (c. p., c.c.) faccia attuare all’asse di simmetria

c. p. x = ρ sin φ cos θ c. c. y = u sin θ (t = ρ, sin φ cos θ

c. p. y = ρ sin φ sin θ c. c. y = u sin θ (t = ρ, sin φ sin θ

c. p. z = ρ cos φ c. c. z = u (z = u

2) calcolo dello J Avrà J₁, J₂, J₃ di saravvo la 1^a 2^a 3^a componente del versore normale

Assegnato il campo vettore F = (f₁, f₂, f₃) il flusso sarà

S₃∬_S F · m dS = ∭_D (f₁, J₁ + f₂, J₂ + f₃, J₃) dφ dρ

coord. cilind.

S₃∬_S F · m dS = ∭_D (f₁, r₁, f₂, r₂, f₃, r₃) dθ dφ

coord. sferiche

Per suppo. x = derivata alla normale se e uscente ha segno positivo

• J_cp | x_u y_u z_u |
  • ⇒ J₁ = yz_u - zy_u
• J_cp | x_o y_o z_o |
  • J₂ = (z_u x_o - z_o x_u)
  • J₃ = (x_u y_o - y_u x_o)
• J_cp | x_p y_p z_p |
  • ⇒ J₃ = y_p z_p - z_p y_p
  • J₂ = (x_y z_o - z_o x_z)
  • J₃ = x_gy - xo_y

Se S è la superficie chiusa ottenuta eliminando la porzione di superficie cilindrica di equazione y² + z² = 1, delimitata dai piani d'equazione x = 1, x = 2, ai 2 cerchi di base S₁. calcolare il flusso entrante su S del campo F(x, y, z) = xi - yj - zk.

x

|

|-> y (immagine) Le coordinate cilindriche diventano:

x = x, x ≤ 2

y = ρcosθ, z = ρsenθ

Barrel J₁ = 0 J₂ = -σ J₃ = -ρ

Devo fobzuke ρ, z è positivo in questo caso ρ = z: sono portando devo redolare le seguenti disequ: Conclusiva il punto lo da arri seguente: intervalli (X₁, X₂).

Per trovare xo con uno, il punto mobile di x tra 1 e 2 diventa 1/2 ten constante y, oxinale

y₁, z₁ per x, cosθ

Quindi (ορχρορ) cosθ y = 4 che cambiato y

T₂, 0 (z; 0) (P; X: cosθ = e cambiara (3/2); 0 e zuato in cotottub x tw2 łącz le coordinate - y,)

y₂ (ρ₁, 0) = xo = x - e = il robot y minitro dovrebbe smeva potsitono per avere un flusso d ructerat, perciò l'intergale utr flinto yirà positivo.

[∫∫ | o, s ds = ∫∫{Be = oxe} ( - cosθ)( - cosθ)-wh(l)ul dv dx = x = ) (4π cosθ = ∫∫ , costwdvidx su rur isto a pollivel Uox(Η)r| cosθs dtαlt). ctl

zioen dovreso ar, aimi. Aitccieto co = Z = Sen. O = o, o, αæ10 r = 0 = ≠ 0

.

✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂

Supponiamo di essere

In coordinate sferiche

• x = ρ sinφ cosθ
• y = ρ sinφ sinθ
• z = ρ cosφ 0≺φ≺2π
• 0≺θ≺π

Dove il piano ϕ = 0 è il piano orizzontale

Senza gli indicatori di nebbia

1. x = sinφ cosθ
2. y = sinφ sinθ 0
3. z = cosφ