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Esercitazione numerica 7 - martedì 12 aprile 2011
Esercizio 1 - Esternalità e imposta pigouviana
Si considerino le seguenti funzioni di domanda e di offerta di mercato.
a) Domanda: -Dp = 15QD^2
Offerta: Sp = 2Q
Se si supponga che la produzione comporti una esternalità negativa paria per ogni unità di bene prodotta. Qual è la curva di offerta del Pianificatore Saggio (PS)?
SOLUZIONE
Il PS conosce l'esternalità comportata dalla produzione e sa che, mentre il costo privato sopportato dal produttore è quello espresso dalla curva di offerta (si ricordi che la curva di offerta origina dal tratto crescente della curva dei costi marginali dell'impresa), il costo sopportato dalla società include anche l'esternalità. Pertanto, per ottenere il costo totale sociale della produzione bisogna aggiungere al costo privato il valore dell'esternalità per ogni unità prodotta. Quindi, la curva di offerta del Pianificatore Saggio sarà:
L'offerta del PS è: P S :S p = 10 + 2QS
Quale deve essere l'ammontare dell'imposta pigouviana che riduca la produzione al livello di produzione ottimale individuato dal PS?
SOLUZIONE
L'imposta pigouviana deve essere pari al valore dell'esternalità, cioè: t = 10.
Questo fa sì che il produttore modifichi le proprie decisioni ottimali in modo da tener conto (cioè internalizzare) l'esternalità negativa e riduca la produzione. In seguito all'introduzione dell'imposta, infatti, la curva di offerta privata coincide con quella del PS:
P S = S: p = 10 + 2QS S1
Si calcoli l'equilibrio di mercato prima e dopo l'introduzione dell'imposta e si rappresenti graficamente.
SOLUZIONE
Prima dell'imposta
Uguaglio domanda e offerta e ottengo:
5 - Q = 2Q
15 = 2Q + Q
9 = Q
p = 2/3 * 9 = 6,6
Dopo l'introduzione dell'imposta
Uguaglio domanda e offerta e
ottengo:5−15 Q = 10 + 2Q2
9 Q =5=⇒ 2
10=⇒ Q = = 1, 19
·=⇒ p = 10 + 2 1, 1 = 12, 2
Rappresentazione grafica: in aula.
Esercizio 2 (riepilogo) - Scelta ottimale del consumatore
Si supponga che un consumatore abbia la seguente funzione di utilità:
a) ·· qU = 2 qx y
Si supponga inoltre che abbia un reddito di 150 euro e che i prezzi dei beni
e Scrivere la condizione di scelta ottimale per il
siano: = 5 p = 1.px yconsumatore.
SOLUZIONE
La condizione di ottimo richiede che: px=SMSxy py
Sappiamo che: ∆q U Mgqy x−= =SMSxy ∆q UMgqx y
Possiamo ottenere le utilità marginali dei due beni calcolando le derivate
parziali della funzione di utilità rispetto alle quantità consumate dei
beni stessi: ∂UUMgq = = 2qx y∂qx∂UUMgq = = 2qy x∂qy
Pertanto la condizione di scelta ottimale risulta data da:
2q q py y x= = =52q q px x y
cioè, il rapporto tra le quantità consumate, rispettivamente, dei beni e
y xdeve
essere pari a 5. Trovare il livello massimo di utilità raggiungibile dal consumatore.
b) SOLUZIONE 3
Dalla condizione di ottimo, sappiamo che, cioè il consumatore q = 5qy x massimizza la propria utilità quando consuma una quantità del bene y pari a cinque volte quella consumata del bene x.
D'altra parte, in base al livello di reddito e dei prezzi dei due beni, possiamo scrivere la seguente equazione del vincolo di bilancio:
q + p q = R
5q + 1q = 150
px x y y x y e quindi, sostituendo la relazione tra le quantità consumate derivata dalla condizione di ottimo, otteniamo:
5q + 5q = 150
5qx x = 150
10qx = 15q
da cui si ottiene: qx = 5q = 5 * 15 = 75
qy x
Cioè, le quantità dei due beni che soddisfano contemporaneamente la condizione di ottimo e il vincolo di bilancio sono qx = 15 e qy = 75, possiamo ricavare:
q = 15 * 75 = 2250
U = 2 qx y
Rappresentare graficamente la condizione di ottimo del consumatore.
c) SOLUZIONE
Il vincolo di bilancio può essere esplicitato in funzione di:
qyR p 150 5x− ⇒ −q = q q = qy x y xp p 1 1y y
Rappresentazione grafica: in aula.
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