Impianto di sollevamento - Esercitazione - Prove D'Esame Svolte - Corso di Idrologia

Calcolo dei costi totali

J Q D2K 13m sostituendo nell’espressione della potenza ;Con K 80 s   161 1 10,333         ' ' 3si ha: indichiamo con A il primo termine delP Q g H g Q D L g 2Ksecondo membro; questo rappresenta l’energia da spendere per vincere la prevalenza geodeticapertanto risulta indipendente dal diametro.  161 10,333      ' 3In definitiva si ha: P A g Q D L 2K  C C CI costi totali si ottengono dalla somma dei due precedenti : ovvero :T i e   161 10,33 3              c ' '3C a L b D L A g Q D L T c r T w2K  per n = 40 anni ( come riportato nell’allegato 1)'r 5doveDerivando l’espressione dei costi totali rispetto al diametro , uguagliando tale derivata al valore 0(condizione di minimo costo) e sostituendo i coefficienti numerici si ottiene per i costi di eserciziola seguente

espressione funzionale: 16 - φ = × φ3C 206, 42 D ed per il diametro ottimale il seguente valore: = 337 mm

nota (1) otte curve dei costi costi (£/m) 1.000.000 costo di impianto 900.000 costi di esercizio costi totali 800.000 700.000 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 diametro D (m) 11

Verifichiamo le velocità per i diametri commerciali immediatamente più piccolo e più grande: λ φ ΔH V j Re 0,024903283 0,35 0,73 0,0019 254655 9,60 0,025799245 0,3 0,99 0,0043 297098 21,49

(1): il valore del diametro ottimale ottenuto dai calcoli è in accordo con quello previsto

Nota = × = × = dall'applicazione della formula di Bresse: D 1,5 Q 1,5 0,07 0,397 m ε =

I calcoli sono stati effettuati con riferimento alla scabrezza valida per tubi usati. 0,8mm φ350 poiché questo ci dà la velocità minore; negli impianti di sollevamento, infatti, il limite superiore

delle velocità scende dal valore di 2 m/s a quello di 1 m/s perché le velocità basse (nell'ipotesi che si verifichi il fenomeno del colpo d'ariete) riducono l'entità delle massime ΔP c V=depressioni, essendo queste legate alla velocità dalla seguente espressione: γ gScelto il diametro da utilizzare per la condotta premente calcoliamo le perdite di carico λ ΔH=YD R J Ve 0 00,02490 0,35 254655 0,0019 9,60 0,730,01881 0,35 254655 0,0015 7,25 0,73Per la valutazione dell'entità delle massime depressioni d'ora in avanti faremo riferimento allaperdite di carico calcolate a tubi nuovi, essendo questa la condizione più svantaggiosa per quanto riguarda il fenomeno del colpo d'ariete: infatti, la maggiore scabrezza dei tubi usati contribuirebbe a dissipare maggiormente la sovrapressione ed il fenomeno si smorzerebbe in un tempo minore a causa degli effetti dell'attrito! COLPO

D’ARIETE

Nell’ipotesi che si verifichi una brusca interruzione della potenza motrice della pompa (a seguito dell’interruzione dell’alimentazione elettrica) la portata e la pompa stessa decelerano fino al loro completo arresto al quale, tuttavia, non corrispondono condizioni di equilibrio, verificandosi un’inversione del moto in condotta ed anche di quello della pompa, che in questa fase funzionerebbe come una turbina (anche se non erogante potenza).

Vogliamo evitare questa situazione per due motivi:

1. Il moto continuerebbe indefinitamente provocando ovviamente lo svuotamento del serbatoio di valle. Nella fase in cui la pompa funziona a turbina, (poiché, come già detto, essa non eroga potenza) la potenza disponibile incrementa esclusivamente rotanti, potendosi avere velocità di rotazione elevate e sollecitazioni inammissibili sugli organi della macchina.

Tale situazione viene evitata disponendo subito a valle

Della pompa una valvola di ritegno il cui è spesso automaticamente determinato dalle stessa interruzione di potenza. Protetta quindi la pompa rimane da proteggere la condotta dal fenomeno del colpo d'ariete.

Tale organo attenuatore del moto vario si dispone subito a valle della valvola di ritegno e nel caso più generale il collegamento tra la cassa d'aria e la condotta avviene attraverso una strozzatura che determina una perdita di carico localizzata. Ritenendo trascurabile l'ulteriore alimentazione della condotta, nel tempo impiegato dal gruppo motore-pompa per arrestarsi ed ammettendo che non si verifichi alcun ritorno di portata attraverso la pompa (visto la presenza della valvola di ritegno), la brusca interruzione della potenza motrice determina l'annullamento della portata di alimentazione.

Il moto nella condotta continua attingendo liquido dalla cassa d'aria la quale si sostituisce alla pompa nell'erogazione.

della portata! All'interno della cassa d'aria si verifica perciò una espansione del gas (aumento di volume) e quindi una diminuzione della pressione con conseguente graduale diminuzione della portata nella condotta.

Il processo continua fino a quando la portata si annulla e nella cassa d'aria la pressione risulta minima mentre il volume massimo.

Il sistema non è però in equilibrio ed inizia perciò una seconda fase con inversione del senso del moto (entrata del liquido nella cassa d'aria), fino a raggiungere un massimo di pressione ed un minimo di volume nella quale condizione si ha un nuovo arresto del movimento.

Il processo continua con una serie di oscillazioni smorzate della portata, della pressione, e del volume intorno alle condizioni di equilibrio finali (condizioni statiche).

Il processo di moto vario è del tutto analogo a quello costituito da un serbatoio con galleria e torrino piezometrico per cui va trattato.

trascurando la comprimibilità del fluido e l'elasticità della condotta (la cassa d'aria trasforma cioè le oscillazioni di pressione propagantesi con la velocità del suono in oscillazioni di massa propagantesi con le velocità del fluido e quindi smorzantesi più rapidamente). Occorre però portare in conto le variazioni che subisce il volume d'aria contenuto nella cassa e definito dall'equazione di stato dei gas nP U cost. A tale proposito facciamo notare che il legame iperbolico tra pressioni e volume (e non più quello lineare tra pressioni ed altezze d'acqua nel torrino) determina per piccole variazioni di volume grandi variazioni di pressione d'aria! quindi riduce le dimensioni della cassa

Il fenomeno fin qui descritto qualitativamente è retto dal seguente sistema di equazioni differenziali:

(L dV/dt) ± αV² + βV² = 0

equazione del moto: ZQ = 0

g dt = dV/dt

ΩdUequazione di continuita ' : Q Vdt    n nequazione di stato : H U H U costssEssendo con riferimento alla fig.1 : H H 10,33 il carico assoluto in condizioni statiches g    H H 10,33 Z H Z il carrico assoluto in condizioni di moto variog s 13U : il volume di gas corrispond ente ad Hs sU : il volume di gas corrispond ente ad Hn : esponente della politropic a  α α 2: il coefficien te delle perdite di carico nella condotta : Y Q  β β 2: il coefficien te delle perdite di carico dovute alla strozzatur a : K QFigura 1Il sistema di equazioni differenziali precedentemente scritto e’ stato risolto da Evangelisti ed irisultati (per il caso con : n = 1,41 ed = 0 ovvero trasformazione adiabatica ed assenza dellastrozzatura ) sono stati diagrammati in forma di graficocon riferimento alle seguenti variabili adimensionali:Ω 2YZ L V   σ0z h caratteris tica dell' impianto0H H H U

2gs s s s 14Calcolando l'entità della massima depressione nel caso non si intervenisse per attenuare il moto ΔP c V 1000 0,73= - = - = -vario: tale valore risulta maggiore di74,17 mγ g 9,81( ) ( )1 1· + = · + =H Y 90 7,25 48,76 m bisogna ricorrere ad un argano attenuatoreg 03 3del moto vario (cassa d'aria).Essendo: = + = + =H H 10,33 90 10,33 100,33 ms= =ΔH Y 7,25 m : perdite di carico a tubi nuovi0 ΔP YZ1 = = = =· = 0MAXz 0,25 ed h 0,072ed imponendo : risulta:Z 24,72 m MAX 0MAX γ H H3 s s=σdal grafico 1 risulta che : 0,037Il grafico 1 (come il 2 ) è stato ottenuto assumendo K = 1,41, sia perché la trasformazioneadiabatica dell'aeriforme sembra essere più aderente alla realtà fisica del fenomeno ,sia per motividi sicurezza, perché così facendo si ottengono i volumi maggiori.Fig. 2 - Abaco per la

determinazione del primo minimo e del primo massimo nelle camere d'aria senza strozzatura, trasformazione adiabatica n=1.41 -z m in 15

Innanzi tutto osserviamo che dal grafico precedente si evincono due fatti salienti: σ si riducono all'aumentare di - a parità di i valori di ,h e cioè di yz e quindi di Z 0 0MAX MAX per questo, come già detto, si è scelto di dimensionare la cassa d'aria con riferimento alla situazione a tubi nuovi (perdite minori) essendo questa la situazione più gravosa. σ all'aumentare di - A parità di il valore di aumenta e cioè al diminuire di (alUh z0 sMAX diminuire del volume della cassa d'aria). Ω2V L σ= σ 3 Ricordando la definizione di si ha: inoltre noto il valore di dalla U 3,496 m&s σ2g H s = σ σ σ parte sinistra del grafico precedente si ottiene il valore di: z 0,237 Z z H 23,79 m min min min s& σ σ σ = σ σ σ + n nH U H U e che H H

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