Idraulica - relazione

Svolgimento:

Il tracciamento della scala di deflusso, cioè l'andamento della portata con l'altezza dell'acqua nell'alveo, si

ricava in modo iterativo. Per ogni incremento dell'altezza abbiamo ragionato come segue: per prima cosa

notiamo, dal fatto che l'alveo centrale e rivestito con blocchi di pietra naturale e le golene sono in terra

regolarizzata e ricoperta d'erba, che la sezione presenta 2 scabrezze diverse.

Questo dato ci suggerisce di suddividere la sezione a seconda del coefficiente di Manning in 2 parti: la parte

−1/3 −1/3

centrale con n = 0,022 m /s, e le zone golenali con n = 0,025 m / s.

Calcoleremo la portata dell’ intera sezione come somma della portata dell’ alveo centrale e delle portate delle

due parti laterali golenali.

Lo schema seguente chiarisce la suddivisione: 5

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Per tracciare l’andamento della scala di deflusso tracceremo una tabella su un foglio elettronico mediante la

quale calcoleremo il perimetro bagnato (P), l’ampiezza del fiume in corrispondenza della superficie libera (b),

l’area della sezione in oggetto (Ω), il raggio idraulico (R), il coefficiente di scabrezza (χ), la velocità media (U) e

la portata (Q), tutto ovviamente in funzione della profondità (Y).

Sezione 1:

Innanzitutto effettuiamo alcuni passaggi geometrici per poter esprimere l'area della sezione in funzione dell'altezza.

• Base dell'alveo: b=4,10m ;

• Larghezza della superficie libera: b (y)=4,10+2⋅y

1

L'area di fluido in funzione dell'altezza y e data dall'area del trapezio con basi b e b ed altezza y:

1

(area del trapezio ABCD) 6

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Il perimetro bagnato della sezione 1 e dato dalla somma della base dell'alveo b e dai 2 tratti laterali inclinati di 45°. Per

conoscere la lunghezza delle parti inclinate occorre effettuare un semplice ragionamento trigonometrico che esprime

l'ipotenusa in funzione di uno dei due cateti.

cateto=ipotenusa⋅cos(α) ►

Quindi il perimetro bagnato è dato da: P = 4.10+2*AB =4.10+(2y/cosα). Calcoliamo la portata con la formula di Chezy:

1

Q (y)= χ * Ω *√ (R*i ) in cui:

1 F

• χ: χ 1/6

lo esprimiamo con il coefficiente di Manning n come: = (1/n)*R ;

• R: R

è il raggio idraulico, che esprimiamo come rapporto tra l’area e il perimetro bagnato: = Ω/P;

• I i

è la pendenza del fondo, che in questo caso è costante e vale 3‰: =0.003.

f : F

Avremo dunque per la sezione 1: per Y < 2,05 m

per Y > 2,05 m 7

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per Y < 2,05 m

per Y > 2,05 m

per Y < 2,05 m

per Y > 2,05 m

Sezione 2:

Superata l’ altezza di 2.05 metri, l’ acqua non occupa solo più la parte principale, ma inizia a muoversi anche

nelle due zone golenali laterali.

Anche in questo caso possiamo ricavare la portata di acqua in funzione dell’ altezza con alcune considerazioni

geometriche.

La base della golena è fissa ed è pari a b=5m, mentre la larghezza della superficie libera è in funzione dell’

altezza e di calcola come: b =5+(2/3)*(y-2.05).

2 8

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L’ area di fluido in funzione dell’ altezza y è data dall’ area del trapezio con basi b e b ed altezza (y-2.05):

2

Per calcolare il perimetro bagnato, in questo caso, dobbiamo fare attenzione al fatto che il liquido da una parte

e a contatto con il terreno, mentre dall'altra parte e a contatto con l'acqua della parte di alveo centrale, quindi

quest'ultima parte non va considerata come superficie bagnata.

Anche in questa situazione per calcolare l'unica parte inclinata ci viene in aiuto la trigonometria:

• calcoliamo l'angolo tra l'orizzontale e il segmento inclinato 2/3 come:

α = arctg (2/ 3) = 33,69°;

• calcoliamo il segmento inclinato come: x =y =y (arctg (2/3)) =y (33,69° ) ;

⋅sin(α) ⋅sin ⋅sin

• il perimetro bagnato e dato da: P ( y ) =5+x = 5+ y (33,69° ) .

⋅sin

2

Calcoliamo la portata, come visto nel caso precedente, con la formula di Chezy: Q =χ * Ω * √(R*i ), con l’ accortezza di

1 F

cambiare il coefficiente di Manning da n=0.022 m /s ad n= 0.025 m /s.

-1/3 -1/3

per Y < 2,05 m

per Y > 2,05 m

per Y < 2,05 m

per Y > 2,05 m

per Y < 2,05 m 9

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per Y > 2,05 m 10

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Segue il processo iterativo svolto con un foglio elettronico:

11

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20

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Per ottenere infine la portata complessiva:

Il foglio di calcolo che ne risulta costituisce l’allegato 1. Abbiamo inoltre, guardando la tabella, che la portata

di moto uniforme con un’altezza a 1 metro sulle golene, ovvero a Y = 2,05 m + 1 m = 3,05 m è Q(3,05 m) =

107,5 . 21

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ESERCITAZIONE 10

MOTO PERMANENTE DELLE CORRENTI A PELO LIBERO:

Integrazione numerica

Un corso d’acqua con sezione rettangolare ha una larghezza b = 50 m, una pendenza del fondo i = 0.003 e un

f

coefficiente di scabrezza n = 0.04 m s (Manning). Lungo il corso d’acqua e presente un ponte che, con una portata di

-1/3

piena Q = 600 m /s.

3

Determinare la distanza del risalto idraulico dal ponte sotto la seguente condizione:

• Profondità all’uscita del ponte = 1.2 m

Per prima cosa occorre calcolare l’altezza critica.

A questo punto è possibile ricavare l’altezza di moto uniforme: definiamo la funzione implicita, esplicitando la

portata tramite la formula pratica di Chezy.

Dove R è il raggio idraulico della sezione che sto considerando e χ è il coefficiente di scabrezza secondo

Manning.

Ricaviamo lo zero della nostra funzione implicita tramite un metodo di calcolo impostato sui parametri noti.

Consideriamo . 22

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P = b +

Y Ω = b • Y R = Ω/P Fu

2Y

0,05 2,50 50,10 0,05 599,54

0,10 5,00 50,20 0,10 598,53

0,15 7,50 50,30 0,15 597,11

0,20 10,00 50,40 0,20 595,34

0,25 12,50 50,50 0,25 593,25

0,30 15,00 50,60 0,30 590,87

0,35 17,50 50,70 0,35 588,21

0,40 20,00 50,80 0,39 585,29

0,45 22,50 50,90 0,44 582,12

0,50 25,00 51,00 0,49 578,72

0,55 27,50 51,10 0,54 575,09

0,60 30,00 51,20 0,59 571,24

0,65 32,50 51,30 0,63 567,17

0,70 35,00 51,40 0,68 562,91

0,75 37,50 51,50 0,73 558,44

0,80 40,00 51,60 0,78 553,78

0,85 42,50 51,70 0,82 548,93

0,90 45,00 51,80 0,87 543,90

0,95 47,50 51,90 0,92 538,69

1,00 50,00 52,00 0,96 533,30

1,05 52,50 52,10 1,01 527,74

1,10 55,00 52,20 1,05 522,02

1,15 57,50 52,30 1,10 516,13

1,20 60,00 52,40 1,15 510,08

1,25 62,50 52,50 1,19 503,87

1,30 65,00 52,60 1,24 497,51 23

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1,35 67,50 52,70 1,28 490,99

1,40 70,00 52,80 1,33 484,32

1,45 72,50 52,90 1,37 477,51

1,50 75,00 53,00 1,42 470,55

1,55 77,50 53,10 1,46 463,46

1,60 80,00 53,20 1,50 456,22

1,65 82,50 53,30 1,55 448,84

1,70 85,00 53,40 1,59 441,33

1,75 87,50 53,50 1,64 433,68

1,80 90,00 53,60 1,68 425,90

1,85 92,50 53,70 1,72 417,99

1,90 95,00 53,80 1,77 409,96

1,95 97,50 53,90 1,81 401,79

2,00 100,00 54,00 1,85 393,51

2,05 102,50 54,10 1,89 385,10

2,10 105,00 54,20 1,94 376,57

2,15 107,50 54,30 1,98 367,91

2,20 110,00 54,40 2,02 359,14

2,25 112,50 54,50 2,06 350,26

2,30 115,00 54,60 2,11 341,26

2,35 117,50 54,70 2,15 332,14

2,40 120,00 54,80 2,19 322,91

2,45 122,50 54,90 2,23 313,57

2,50 125,00 55,00 2,27 304,12

2,55 127,50 55,10 2,31 294,57

2,60 130,00 55,20 2,36 284,90

2,65 132,50 55,30 2,40 275,13

2,70 135,00 55,40 2,44 265,25 24

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2,75 137,50 55,50 2,48 255,27

2,80 140,00 55,60 2,52 245,19

2,85 142,50 55,70 2,56 235,00

2,90 145,00 55,80 2,60 224,72

2,95 147,50 55,90 2,64 214,33

3,00 150,00 56,00 2,68 203,85

3,05 152,50 56,10 2,72 193,27

3,10 155,00 56,20 2,76 182,59

3,15 157,50 56,30 2,80 171,82

3,20 160,00 56,40 2,84 160,95

3,25 162,50 56,50 2,88 149,99

3,30 165,00 56,60 2,92 138,93

3,35 167,50 56,70 2,95 127,79

3,40 170,00 56,80 2,99 116,55

3,45 172,50 56,90 3,03 105,23

3,50 175,00 57,00 3,07 93,81

3,55 177,50 57,10 3,11 82,31

3,60 180,00 57,20 3,15 70,71

3,65 182,50 57,30 3,18 59,04

3,70 185,00 57,40 3,22 47,27

3,75 187,50 57,50 3,26 35,42

3,80 190,00 57,60 3,30 23,49

3,85 192,50 57,70 3,34 11,47

3,90 195,00 57,80 3,37 -0,63

3,95 197,50 57,90 3,41 -12,81

Il valore che approssima meglio lo zero risulta dunque essere Y = 3,9 m. Considerando questa altezza come

quella di moto uniforme notiamo subito che . Siamo dunque in presenza di un alveo a

debole pendenza con corrente veloce. 25

RELAZIONE DI IDRAULICA Anno Accademico 2011/2012

Poiché questa corrente deve raccordarsi ad una corrente di moto uniforme che è lenta, avremo un profilo di

tipo D3 fino al raggiungimento di un’altezza Y che risulta essere coniugata nel risalto con , vale a dire

avente lo stesso valore di spinta S.

Ho dunque:

Definiamo allora una nuova funzione implicita

Che esprimiamo in funzione di fino a ricavare per successivi incrementi di , il valore di spinta indicato.

sempre considerando 26

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Y Ω R

P [m] χ K s [m] Spinta [N]

2

[m] [m ] [m]

1,20 60,00 52,40 1,15 25,57 0,017413 0,00 6353016,00

1,25 62,50 52,50 1,19 25,74 0,017468 2,86 6143046,88

1,30 65,00 52,60 1,24 25,90 0,017559 5,71 5952765,04

1,35 67,50 52,70 1,28 26,05 0,017688 8,54 5780119,21

1,40 70,00 52,80 1,33 26,20 0,017858 11,34 5623351,14

1,45 72,50 52,90 1,37 26,35 0,018073 14,10 5480945,12

Come si nota dalla tabella il valore della spinta totale che eguaglia quello all'altezza y u si trova tra un'altezza

di 1,40 m e 1,45 m. Il risalto si trova ad una distanza di circa 13 metri a valle del ponte.

I parametri z , h, hc e hu servono per il tracciamento