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1)

\[

  • \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
  • \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
  • \[ \beta (A) \neq \beta (A | B) \]

3)

  • \[ x_1 - x_2 = 1 \]
  • \[ x_1 + x_2 = 1 \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
  • \[ \Rightarrow \begin{pmatrix} x_2 = 0 \\ x_1 = 1 \end{pmatrix} \]
  • \[ x_1 + x_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0 \]

4)

  • \[ x_1 - x_2 = 1 \]
  • \[ x_1 + x_2 = 1 \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

5)

  • \[ \begin{pmatrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = t \end{pmatrix} \]

5)

  • \[ x_1, x_2 = 1 \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  • \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
  • \[ x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = t \\ x_4 = u \]

x1 - 2x2 - 8x3 = 0

-x1 + x2 + 5x3 = 0

2x1 - 6x3 = 0

2x1 - x2 + x3 = 0

( -2 8 0

1 -5 0

2 0 6

1 0 0

R2 = R2 + R1 1 -2 8 0

R2 = 3R1 0 -1 3 0

R3 = R1 0 1 8 0

R4 = 2R1 0 5 15 0

R3 = R3 + 6R2 1 -2 8 0

R4 = 2R4 0 -5 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⇒ ϱ(A) = ϱ(A|B) = 2

⇒ Infinite solutions

x2 = 3x3

x1 - 2x4 = 0

x2 = 3x3

x3 = t

x1 = 2x3

x3 = t

⇒ S = { (-2t, 3t, t) | t ∈ ℝ }

U = { ce | 0 < c < 1 }

V = {(0,0,0)}

W = { x3 | x3 > 0 }

x = ( zz ) o ( 0 0 ) = | a4a1 |

  • a) ∀ cU? NO
  • b) ∀ cV? SI
  • c) ∀ cW? SI
  • d) δ y U? NO
  • e) ½ y U? NO
  • f) 2yV? NO
  • g) x w? SI
  • h) y W? SI
  • i) x + y W? SI
  • l) -y W NO
  • m) x -yW? NO

U, V, W nonsub..

U nonsub...

V ∈ V...

W ∈ W...

Le U W λ...

W1 = Span { ( 1 2 0 )

W2 = Span { ( 1 0 1 ) ( 0 1 0 )

W2 ⊆ W1 W1 ⊆ W2 ?

Th: x1 = t x2 = 2t + y x3 = z

Th2: { x1 = t x2 = y x3 = t

Per vedere se W2 ⊆ W1 allore devo rendere se

( 1 2 0 ) = t ( 1 0 ) = ( 0 1 0 )

( 1 0 1 ) = t ( 0 1 0 ) = 2 1 : 0 1

0 1 0 1 2 0 -1 -1

1 0 0 0 1

=> 0 0 1 0 0

=> 2 Line 1 line 2

Quindi W2 ⊈ W1

Allora

( 1 0 0 ) = t ( 1 2 0 ) + y ( -1 0 1 ) => ( 1 -1 1 )

( 0 3 -1 ) (-1 1 0) (1 0 0)

=> (1 2 0)

=> (0 3 -2)

=> (0 1 -1)

1

Quindi

Non comp.

Questo non è uno scritto delle due inclusioni:

1) α = β = 0 ⇒ v1, v2 LI

2) Trovare x∈ℝ t.c. u1, u2, u3 sono LI( ) ( ) ( )

(1 0 x) (0 x 0) (0 0 0)

1 0 x

1 (x-x  )/2 0 0 0

0 0 x

0 0 (7-x)/2 0 0 0

0 1 (x-x)/2

(2-x)/2 3(x-x  )/2 (x-x)/2 0

β+ x (

27)

W = span < { (5 -1) } > ⊂ ℝ3

dim W = ... (B-A =2 )

B = { (0,1,2) (0,1) }

B' = { (1,0,1) (0,1) }

28)

W = span < { (1,1,0) (0,1) } > ⊂ ℝ3

⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 1〉 ⇒ < (A) = 2

base W = 2

B = { (0,1,2) 0〈0,1) }

B' = { (1,0,1) 0〈0,1) }

29)

U = { (x₁,x₂,x₃) 〈ℝ3 x₃ =0 }

S : = { (x₂¸0) 〈ƒₜ⟘σ〉ℝ }(x₃ - 1)/2

t,x₂Ð

⇒ dим U = 2

B = { (0,0,0) (1,0,0) }

30)

V₂ = { (x₁ 〈ℝ1 x₃ ) 〈ℝ2 x₃ =0 }

x₁, x₂ + x₃ =02x₁ - x₃ = 0

⎡ 1 -1 0 ⎤[ 0 2 -1 ]

⇒ <(A) = 2

⇒ dim V₀ emptyBelow V = H₂

⇒ C₂ = 0

S : = { (b, b,0) ¦ ƒ ≤ 〈ℝ}⎡ x₁ 〈b⟶ 〈{

x₂ - 〈9b&brask),⦕2

⇒ B = { (-1 n^2. ) }

BZ

V = Span 120

W = {x1, x2, x3}  x1 + x3 = 0

  1. V ∩ W?

V: x1 = α, x2 = 2 β, x3 = α

W: x1 = x, x2 = β, x3 = α

⇒ V ∩ W = α α = 0 ⇒ ∀α, β ϵ ℝ

⇒ V ⊂ W

t 12 + u 01 = 01 ⇒ b, b ⇒ 0 ⇒ row 0

Quals base di V ⇒ dim V = 2

La base di W è per es.

B = {01, 10} ⇒ dim W = 2

⇒ dim (V + W) = 0

42

A = (−2 6 −10) B = (0 2 14) C = (0 3 37)

(A∙B)∙C = A∙(B∙C) = (−14 −28 1228) = (−90 −102 45102)

(A∙B)∙C = (−2 −30 115) (0 3 37) = (−90 25 45102)

43

Dai due matrix (A o Bo Co X B A e X A B)

A = (1 1 3 00 4)B = 0 4 5 03 1 6)4 2 4 2 4

44

Dai due matrix quadrati t.c. A∙B ≠ B∙A

A = (2 1 21)B = 3 0 01)

A∙B = (2 2 11)B A = 2 1 21)

45

Inverse due rudic A B t.c. A∙B ≠ 0

A = (1 0 00)B = 0 0 02 1)

A B ≠ 0

46

Inverse A ≠ 0 t.c. A2 = 0

A = (0 1 00)A = 0 1 00)A2 = 0

Dettagli
Publisher
AlessioBuc99
A.A. 2021-2022
89 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher AlessioBuc99 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma Tor Vergata o del prof Iannuzzi Andrea.