Funzioni algebriche, ricerca del dominio - Esercizi svolti

Analisi matematica: Funzioni

Esercizi svolti

Dominio di funzioni algebriche

Domanda: Per quali valori di x questa espressione è sensata?

Risposta: ≠ 0. Per tutti i valori di x per cui il denominatore è sensato.

Risolvo

2 + 3 ≠ 0

( + 3) ≠ 0 ≠ 0 ∧ ≠ −3

Questi due valori vanno esclusi dall’insieme di esistenza: = ∀ ∈ | ≠ 0 ∧ ≠ −3

La funzione è un quoziente di due radici ad indice pari. ≠ 0, Entrambi i radicandi devono essere non negativi, per il denominatore vale sempre la condizione quindi: 1 ≥ sistema è verificato per 3.

Il dominio è: 1 = ∈ | ≥ { } 3

La funzione è somma di due radici ad indice pari. Entrambi i radicandi devono essere non negativi: { = ∈ | ≤ 0} ≠ 0

Funzione razionale fratta

Denominatore + 2 ≠ 0 → ≠ −2

{ = ∈ | ≠ −2}

Una condizione per la radice ed una per il denominatore 2 ∀ ∈ { + 4 ≥ 0 → { ≠ −3 + 3 ≠ 0 { = ∈ | ≠ −3}

Gli zeri di una funzione

2 − 5 + 4) () = f(0) non esiste perché D non contiene lo zero.

1 − 5 + 4(1) = = 0

16 − 20 + 4(4) = = 0

1 e 4 sono zeri ma 0 no

• a) Falsa: 2 + 1) () = +1 2 + 1 = 0 ? → 2 ≠ −1 ∀ ∈
• b) La funzione non ha zeri! Vera
• c) Falsa: 2 − 4) () = +1 2() = 0 − 4 = 0 → = ±2 la funzione ha due zeri
• d) Vera: 4 3 2 − 6 + 8) () = 1 − 4 3 2 − 6 + 8 0(0) = = =0 1 − 116 − 48 + 32 0(2) = = =0 1 − 2 − 1256 − 384 + 32 0(4) = = =0 1 − 4 −3

Dal grafico abbiamo: (−∞;() > 0 −2) ∪ (0; 2) (−2;() < 0 0) ∪ (2; +∞)

Partiamo dall'ultima

• e) Il dominio non include l'intervallo (-2;2) 2 − 4 ≥ 0 → ≤ −2 ∨ ≥ 2
• d) La funzione non è definita in +2 e -2 ed è positiva per valori esterni a -2 e 2, quindi il grafico del segno non corrisponde.