Funzioni e loro proprietà, dominio e immagine

Funzione irrazionale ad esponente pari

Pongo il radicando maggiore o uguale a zero: 0 ≤ 2x ≤ ∞

Per intervalli:

Immagine di f(x): L'immagine è un sottoinsieme del codominio.

L'immagine è l'insieme delle y.

Determiniamo l'immagine di alcuni valori della funzione data:

√2x = y

√2^2 = 0

√2^1 = 1

√2^0 = √0 = 0

√2^3 ∉ 3

√2 ∉ √3 non appartiene al Dominio → non posso costruire l'immagine di questo valore!!

Non posso estrarre la radice pari di un numero negativo.

I valori dell'immagine di f(x) sono quei valori di y per i quali la x è definita e appartiene al dominio D, cioè:

Esprimiamo allora x in funzione di y, elevando al quadrato per togliere la radice:

→ 2x = y^2

Imponiamo che appartenga al dominio:

2x ≤ 2^2 → 0 ≤ x ≤ 2

Scrittura per intervalli:

Funzione razionale intera → f(x) è un polinomio di secondo grado (una

parabola in questo caso)2D=RIl dominio è tutto R, al posto di x posso mettere tutti i valori che voglioImmagineEsprimiamo allora x in funzione di yQuesta volta usiamo il metodo del completamento del quadrato del binomio:aggiungo e sottraggo 1 al secondo membro 2 1 1separo i tre termini del quadrato di binomio:1 2 11 1 1 1ed ora separo la x: 1 1La y è nel radicando, impongo che sia positivo:1 0→ 1Ho ottenuto l'immagine della funzione1; ∞Scrittura per intervalli:Funzione razionale fratta devo porre denominatore diverso da zero00 ∞; 0 ∪ 0; ∞Il dominio è tutto R tranne lo zero.ImmagineEsprimiamo allora x in funzione di y2→ 2→ 2→ 1 22→ 1imponiamo che il denominatore non si annulli:1 0→ 1Ho ottenuto l'immagine della funzione∞; 1 ∪ 1; ∞Scrittura per intervalli:Funzione trascendente logaritmica ln 2Devo porre maggiore di zero il suo argomento2 $0→ %2∞; 2Il dominio è

L'insieme dei numeri reali minori di 2.

Esprimiamo x in funzione di y, passando alla funzione esponenziale in base e:

ln 2^' *+& & 2^'& 2 → 2 &ora la condizione su x, per appartenere al dominio: %2^'2 & % 2

Risolviamo: 2^'& % 0 → & $ 0è vera sempre, quindi ∀ ∈I=R