Frammenti pericolosi di un satellite esploso

Frammenti pericolosi di un satellite esploso

Gravitazione

A causa di un’esplosione nel reattore che alimenta un satellite in orbita attorno alla Terra, il satellite si spezza in due parti di massa m₁ e m₂. L’energia liberata nell’esplosione è circa una parte su decimila dell’energia cinetica del satellite e si trasforma nella sua quasi totalità in energia cinetica traslazionale dei due frammenti. Prima dell’esplosione l’orbita del satellite era approssimativamente circolare con raggio R_C = R₀ + r_i, dove R₀ è il raggio della Terra e r_i/R₀ = 1/10.

Si supponga, come schematizzazione semplificativa, che su ciascun frammento non agisca alcuna forza di attrito se è “fuori dall’atmosfera”: R > R₀ + r_a, ove R è la distanza del satellite dal centro della Terra e r_a/R₀ = 1/60; mentre se un frammento raggiunge l’atmosfera, R < R₀ + r_a, questa lo fa precipitare sulla Terra. Sapendo che la massa iniziale del satellite è di 10 tonnellate e facendo l’ipotesi che corpi con massa più piccola di un quintale che cadono attraverso l’atmosfera vengono da questa totalmente vaporizzati prima di raggiungere la superficie terrestre, si dica per quali valori del rapporto m₁/m₂ uno dei due frammenti del satellite può colpire la superficie della Terra, nel caso in cui l’esplosione acceleri i frammenti tangenzialmente all’orbita del satellite.

Nota: La successiva Figura 9.10 non è ovviamente in scala.

100 / (1 + μ) ≥ 1

(10)

La (10) risolta per μ ci consente di stabilire che:

μ ≤ 99.

L'altra condizione imposta dal testo del problema è legata alla quota del frammento al perigeo, perché, solo se essa è inferiore a R₀ + r_a [r_a = (1/60) R₀], il frammento cade verso la Terra; pertanto deve essere verificata la disequazione:

R_P ≤ R₀ (1 + 1/60)

Ricavando R_P dalla (9), ricordando che R_C = R₀(1 + 1/10), la precedente disuguaglianza assume la forma seguente:

a² / (2 − a²) ⋅ R₀(1 + 1/10) ≤ R₀(1 + 1/60)

Dopo qualche passaggio e semplificazione, senza dimenticare che “a” è una quantità positiva e tale che 0 < a < 1, si ottiene:

a ≤ √(122 / 127)

(11)

Ma avendo noi posto: a = (1 − k √μ) = (1 − 10⁻²√μ), la (11) diventa:

1 − 10⁻²√μ ≤ √(122 / 127)

Risolvendo per μ si conclude:

μ ≥ 10⁴(1 − √(122 / 127))² ≅ 3,95

Combinando questo risultato con quello dedotto dalla (10), si può affermare che il frammento m₂ giunge sulla superficie terrestre se: