Formulario di Elementi di controlli automatici

FORMULARIO CONTROLLI AUTOMATICI

Calcolo della risposta libera nello stato con i modi naturali

1. Calcolo più autovalori di A

   det(λI - A) = 0

2. Calcolo più autovettori destra associati agli autovalori

   (λI - A)Ūi = 0

   • Ū1 =
     • u11
     • u21
     • u31
   • Ū2 =
     • u12
     • u22
     • u32
   • Ū3 =
     • u13
     • u23
     • u33

   Definisco dunque la matrice degli autovettori destra

   U =

   • u11 u12 u13
   • u21 u22 u23
   • u31 u32 u33

3. Calcolo più autovettori sinistri

   Ū^- = V^T

   Se dim U = 2x2 il calcolo di U^-1 è immediato;

   Se dim U = 3x3 devo portare attraverso i calcoli del cofattori.

   Ū^- = 1/det(U)

   • R = { | Aggi U | }
   Aggi U =
   • u11 u21 u31
   • u12 u22 u32
   • u13 u23 u33

   Quindi avremo:

   Ū^- =

   • v1 u2
   • v1 u3
   • v2 u3
   • v1 u3
   • v2 u3
   • v3

4. Calcolo dei coefficienti Ci detti coseno

   1. Attraverso gli autovettori sinistri: Ci = V^-T x0
   2. Attraverso la definizione di risposta libera nello stato:

   x(t) = Σ_i=1ⁿ e^λit Ūi Ci; t = 0 = x0 = C1Ū1 + C2Ū2 + ... + CnŪn

5. Evoluzione libera nello stato

   x(t) = Σ_i=1ⁿ e^λit Ūi Ci = Σ_i e^λit Ūi Ci

   Evoluzione libera in uscita

   y(t) = C x(t) = Σ_i C e^λit Ūi V^-T Ξ0 = Σ_i C e^{λ it} C x(t)

   Con MODI PSEUDOPERIODICI, ovvero accoppiati e coniugati, per cui avranno ruolo

   λr = σr ± jωr e λk = σk ± jωk con due autovettori degeni

   λi * ûik + jûik = ûikr ûik = ûik- jûik ûik = ûikr + jûikr

   ∅rik = rre ∅kir = mri² e^σt

   Ci = mrj² e^σt; x(t) = e^σt ∑_i=1% Σⁿ (cos( ∅ + σiar) ûik Uo(a+τ) ) ûuv)

   Dunque la risposta libera nello stato sarà x(t) = Σ_i=1ⁿ e^λit Cti + ∑ⁿ e^λit Ci Cvk e

(6) Modi eccitabili con impulsi in ingresso oppure B = C·ü, ü = C^_1ü_(t-t1) + ... C^_hü_(t-th), C÷(0) = eccitabile

V: Rⁿ ÷ 0, il modo resurde associato a λ~_i è eccitabile con impulsi generici ∀θ_i nel sistema. (dove prende vettore x(t)).

Modi osservabili in uscita

C:ü ÷ 0) (il modo resurde associato a λ~_i è osservabile in uscita allo {%hardcopy text} {{vettore vettore y('i')}}.

Se gli n autovalori di A sono non disgiunti:

∃σ_i m=1, ..., n e pol autovalori distinti e

det(A-λ~_iI)^σ_i

X∈(t) = dle ∑_i=1 ∑_κ=1 (κ+1)^-1 e^λσ_it (A-λ~_iI)^κ-1 e_i

Calcolo della molteplicità geometrica oltre λ molteplicità.

Di valore il polinomio caratteristico di A

p(λ) = det(λI-A) = λⁿ + a_nλ^n-1 + a_n-1 + ... + a_n-1

Il calcolo degli autovalori di λ è con p(λ) = 0.

A è sempre soluzione del suo polinomio caratteristico: p(A) = [0]

La molteplicità geometrica di un autovalore m_g non è oltre che grado del polinomio minimo, ovvero polinomio di grado minimo soddisfa altra matrice A che è differente abbastanza di grado p(λ), in conseguenza c'è λ che stesso valendoli, fisse al grado 1:

Che stesso valendolo, fisse al grado 1:

p;(A) = 0 m: molteplicità geometrica.

Sintesi con reazione dallo stato

1. Verifico due condizioni:
   • C=I ovvero stato misurabile.
   • _ayor=n stato controllabile.

• x(t) = (A-Bk)x(t) + bv(t)
• y(t) = x(t)

Osserva che la matrice assomma A-BK = obbia per evoluzione alejabrica:

2. Calcolo il polinomio caratteristico di polonenza e ne trovo i coefficienti:
   • P(A) = det(I₃-A) = ⁿ + a_n-1^n-1 + ... + a₁ + a₀
3. Detere colonne lin. indip. di K costruisco una base di vettori e trovo la matrice di trasformazione T:
   • en=B n=dim A=dim X
   • e_n-1=Ab + a_n-1b
   • en₁=A²b + a_nAb + a_n
   • e_a1=Ab + a_n-1A^n-1 + ... + a₁Ab + a_b

   ⁻¹[e₁... e_n] - =Tx x=⁻¹ = [ ⁻¹]

   >1, ₁asc,... _des

4. Costruisco il polo cont. con evolusione determinata per A-Bk

   con i suoi coefficienti:

   (T())=(− ₁desc)(− _dyn)... (−_ender)= + _n-1^n-1 + ...+ _a1 + ₀

5. Con le colonne coordinante presaco che

K^T =[_0-d0 ( − ₃) (_1-a4) ...]

in modo che A⁻⁻B⁻K° evola dei polo arievano desiderabbia.

6. Dopo aver operbato per distolennio inulo la strutura retina al primimia:

u(t)=v(t)+K^Tζ(t)=v(t)−K^Ttx(t)=v(t)−K^TTx(t)

=> =^∓T → inatrce di retroazione che premieth obreneighbours

7. Verifico che per distolenione di A-Bk ＝abbia chela obstobena:

det(I−(A−Bk))=0 oppure calcolo il polynemio di A^*−B^*K^* che deve coincidere con questo deltobena. det(I−(A^*−B^*K^*))＝0

Criterio di Nyquist

Studio la funzione in catena chiusa per studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso.

F(s) = _{K ∑ (s+zi)}/_{∑ (s+pi)} la scrivo in forma canonica di Bode

Studio i _co+ e _co- eule in modulo e fase (per la fase utilizzo le regole di Bode).

M( ω⁺ )=

ϕ( ω⁺ )=

Considero l’attraverso del diagramma di Bode (salite e discese) traccio il diagramma di Nyquist sul piano del Mapping tenendo conto di modulo e fase nei _co± eulite.

Dico _{g0 · t∞} e legame punto ↔ immagine rispetto altri ↔ le

Vettore e numero di giri percorsi dal vettore rispetto del punto (-1, j0) e calo estremi libero sotto curva aperta di punto (-1, j0).

(fino da -∞ ; 0_+- ; 0_+- ; +∞ )

Se ž = -p sistema a ciclo chiuso stabile il numero di poli a parte reale positiva della F(s).

Caso critico

Se ho un polo in s=0, lo escludo dal conteggio di p_p.Devo chiudere il diagramma con una semicirconferenza di raggio 0₊ che collega il raggio a 0^- a quello a 0⁺ in senso orario.

I semicirconferenze da tracciare sono tanti quanti vale la molteplicità del polo.

Ricordo per n int con n molteplicità che mezza ⍼ è

• n=1 → mezza circo ⍼ ž = 0
• n=2 → giro completo ⍭ ž = 1
• n=3 → un giro e mezzo ⛯ ž = 2