Formulario di Elementi di controlli automatici

Formulario Controlli Automatici

Calcolo della risposta libera nello stato con i modi naturali

1. Calcolo più autovalori di A

det (λI - A) = 0

2. Calcolo più autovettori destri associati agli autovalori

(λI - A) ū = 0 ⇒ ū = _...

3. Calcolo più autovettori sinistri

U^-1 = V^T

Se dimU=2x2 il calcolo di U^-1 è immediato;

Se dimU=3x3 devo passare attraverso il calcolo dei cofattori.

U^-1 = (1/det U) cofU^T

Quindi avremo:

U^-1 = V^T

4. Calcolo dei coefficienti Ci scalari

a. Attraverso gli autovettori sinistri: Ci = V^T x₀

b. Attivazioni della soluzione di risposta libera nello stato:

x(t) = Σ e^λ_it ū_i c_i

5. Evoluzione libera nello stato

x_E(t) = Σ e^λ_it ū_i C_i

FORMULARIO CONTROLLI AUTOMATICI

Calcolo della risposta libera nello stato con i modi naturali

1. calcolo gli autovalori di A
   • det (λI - A) = 0
2. calcolo gli autovettori destri associati agli autovalori
   • (λI - A) U̅ = 0̅
   • Definisco comunque la matrice degli autovettori destri
3. calcolo gli autovettori sinistri
   • Se dimU = 2 x 2 il calcolo di U^-1 è immediato;
   • Se dimU = 3 x 3 devo passare attraverso il calcolo dei cofattori.
4. Calcolo dei coefficienti C_i scalari
   • a. Attraverso gli autovettori sinistri: C_i = V̅_i^T x₀
   • b. Attraverso la descrizione di risposta libera nello stato
5. Evoluzione libera nello stato
   • Evoluzione libera in uscita

   Con MODI PSEUDOPERIODICI...

MODI ECCITABILI CON IMPULSI IN INGRESSO

B-Cu'+Cu"+Cu'"+Cu⁽⁴⁾, C:0≠0 →

∀̌: B≠0 ⇒ il modo diventa dipendente da λ: è eccitabile con impulsi

in ingresso. (non presente vettore x*(t)).

MODI OSSERVABILI IN USCITA

C:0≠0 ⇒ il modo diventa dipendente da λ: è osservabile in uscita

(non presente vettore y*(t)).

Se gli n autovettori ω a λ NON DISTINTI:

siano λ: i=1,...,r ai cui autovalori σ corrisponde ω

siano m: i=1,...,r le molteplicità polinomiali degli autovalori

χe(t)=∑_k=1^m_i ∑_k=1ⁿ λkt e^λ_i (A-λ_i I)^k-1 Ci^k-1

Calcolo della molteplicità geometrica autovector valore

di valore il polinomio caratteristico di A

ρ(λ) = det (λI-A) = λⁿ + a₁ λ^n-1 + a₂ λ^n-2 + ... + a_n

il calcolo degli autovettori λi c'∃ con ρ(λ)=0.

A è sempre soluzione del suo polinomio caratteristico: ρ(A)=[0]

La molteplicità geometrica di un autovalore mg≤ma è data dal grado del

polinomio minimo, ovvero il polinomio del grado min mi soddisfa sulla

matrice A che ti offre abbondato da grado p(λ), in corrispondenza del λ

che stesso moloto, fino al grado 1:

ρi(A)=0 ⇒ mi molteplicità geometrica.

Calcolo della risposta libera nello stato e in uscita in Laplace

x_E(s) = Φ(s) x₀ = x[x_E(t)]x(t) = H(t) u(t)y_E(s) = y(x₀ = C Φ x₀ = x [y_E(t)]) y(t) = (W(s)u(s))

1. Matrice con il metodo di Laplace

Φ(s) = (sI-A)^-1

H(s) = Φ(s) B = (sI-A)^-1B

Ψ(s) = C (Φ(s) = C(sI-A)^-1

W(s) = C + (sI-A)^-1B + D = Ψ(s) B + D

2. Risposta libera nello stato

x_E(s) = Φ(s) x₀ x_E(t)

Deve anticipare l'espressione di x_E(s) con lo sviluppo in serie semplice.

Moseguenza per la risposta libera in uscita che do essere: Y_E(t) = γ(t-t₀)x₀ = C + (t+t₀