Formulario controlli automatici

Formulario Controlli Automatici 1

Diagramma di Bode

• termine costante: K = guadagno statico di F(s)

  • Modulo: |K| → 20log₁₀|K| → retta orizzontale
  • Fase:
  • 0° se K > 0
  • -180° se K < 0 → retta orizzontale

• termine monomio (ju): individua i poli nell'origine

  • Modulo: |ju| → 20log₁₀|ju| = 20log₁₀ω → retta inclinata di 20 dB/decade
  • Fase:
  • ricordiam che la fase del prodotto è uguale alla somma delle fasi.
  • ju = π/2 → retta orizzontale

• termine binomio (1±jz): (1±juz) → individua zeri e poli reali diversi da zero

  • Modulo: |1±juz| → 20log₁₀ → retta inclinata fino a |z| ...
  • Fase:
  • cambio di segno a seconda del segno di z e se si trova al numeratore o al denominatore

• termine trinomio (1±2z/ω_n±z²/ω_n²)

  • Modulo:
  • 0 se ω < ω_n → retta costante a contributo nullo fino a ω_n, ...
  • 40log₁₀ω_n → 20log₁₀...
  • Fase:
  • 0° se ζ ≥ 0
  • retta costante a contributo nullo fino ad una decade prima di ω_n

Formulario Controlli Automatici 1

Diagramma di Bode

• Termine costante K: guadagno statico di F(s)
  • Modulo: |K| 20log₁₀|K| retta orizzontale
  • Fase:
    • 0° se K > 0 retta orizzontale
    • -180° se K < 0 retta orizzontale
• Termine monomio (jus) individua i poli nell’origine
  • Modulo: jus 20log₁₀jus 20log₁₀ω retta inclinata di 20 dB/decade
    • generale: * 1/jω 20m log₁₀ω retta inclinata di 20m dB/decade
  • Fase: ricordiamo che la fase del prodotto è uguale alla somma delle fasi.
    • jus π/2 90° retta orizzontale
• Termine binomio (1+jωτ) = (1+jω/z) individua zeri e poli reali diversi da zero
  • Modulo: 1+jωτ 20log₁₀ 1+jωτ 0 se ω < 1/|z|
    • retta inclinata di 20 m dB/decade 20log₁₀ω - 20log₁₀|z| se ω > 1/|z|
  • Fase: cambio di segno a seconda del segno di z e se si trova al numeratore o al denominatore
    • se ζ > 0: [1+jω/z] 0°
    • se ω = |z|/10 - se ω > 10 - retta costante a contributo 90° da una decade dopo ω_s
    • se ω > 10 - se ω > |z| retta costante a contributo nullo fino ad una decade dopo ω_s
• Termine trinomio (1.2 ζ ω_s/ω + ω_s²/ω²)
  • Modulo: 0 se ω < ω_s retta costante a contributo nullo fino a ω_s
  • Fase: cambio di segno a seconda del segno di ζ e se si trova al numeratore o al denominatore
    • se ζ > 0 f: 0° retta costante a contributo nullo fino ad una decade prima di ω_s

Correzione diagrammi:

termine binomio:

• Modulo: l'errore che si commette è costante, massimo in \( \omega_s \), e simmetrico (mezza decade (un'ottava) prima e mezza decade dopo \( \omega_s \)). \( \pm \, 3 \, dB \approx \, 1 \, dB \)
• Fase: il valore esatto si verifica nel diagramma di correzione del trinomio con \( \zeta_2 = 0 \) dividendo per 2 nei punti scelti per il modulo facendo attenzione al segno di z

termine trinomio:

• Modulo: l'errore che si commette varia rispetto a \( \zeta_2 \), si cerca nel diagramma di correzione nel p.t.o critico \( \omega_s \), mezza decade prima e mezza decade dopo \( \omega_s \).
• Fase: come per il termine binomio si verifica nel diagramma di correzione negli stessi punti del Modulo.

Criterio di Nyquist:

\( \bar{N} = -P_p \) \( \bar{N} \) numero giri in senso orario attorno al p.t.o critico \(\Rightarrow\) P.t.o critico: \((-V_f; j 0)\)

Diagrammi di Nyquist:

Si disegna sul diagramma polare: \((\text{Re}[F(j\omega)], \text{Im}[F(j\omega)])\)

1. Si pone fissi in forma canonica di Bode e si pone \( s = j \omega \)
2. Si calcola \( \lim_{\omega \to 0^+} |F(j\omega)| \to M(0^+)\), \( \lim_{\omega \to +\infty} |F(j\omega)| \to M(+\infty)\) \( \lim_{\omega \to 0^+} \varphi(F(j\omega)) \to \varphi(0^+)\) \( \lim_{\omega \to +\infty} \varphi(F(j\omega)) \to \varphi(+\infty)\)
3. Si trova qualitativamente il diagramma di Bode della fase di F(j \omega)
4. Si traccia qualitativamente il diagramma polare

Per tracciare il diagramma di Nyquist per pulsazioni negative basta fare il simmetrico rispetto all'asse reale del diagramma per pulsazioni positive.

Il p.t.o a parte reale nulla viene considerato come un p.t.o a parte reale negativa e una chiusura di 180° in senso antiorario.

Stabilità:

I sistemi per cui all'aumentare di \( V_f \) diventa instabile si chiamano sistemi a stabilità regolare

• Margine di fase: \(\omega = \omega_c: |F(j \omega_c)| = 0,1 \, dB\) pulsazione di attraversamento \( [\text{il margine di fase viene individuato in corrispondenza della pulsazione} \, \omega_c \, \text{e vale:} \, m_{\varphi} = \varphi(F(\omega_c)) + \pi] \)
• Margine di guadagno: \(\omega = \omega_f: \varphi(F(j\omega_f)) = -\pi\)

\(\frac{1}{\text{OP}} = \text{il margine di guadagno è definito come il reciproco espresso in dB del segmento OP}\) \([\text{viene individuato in corrispondenza della pulsazione} \, \omega_c \, \text{e vale:}\] m_g = \frac{1}{\text{OP}} = \frac{1}{\log (3}}[\text{ =} \, 20 \, \log |F(j\omega_f)|\)

Tipo:

Se il sistema è di tipo K, l'errore a regime permanente \((2/\pi)\) per un ingresso di tipo \( 1/K (\lim{t \to +\infty} u_v(t) \) è costante \(\neq 0\)

Astrazione:

Si fa astrazione rispetto ad un disturbo se sono presenti uno o più poli nell’origine a monte del disturbo.

Calcolo dell'errore

e(t) = K_r -> saltante: coefficiente di retroazione => specifica: |e(t)| < ε => |K_rf| ≤ K_x²/_ε

∇ g5 guadagno in catena diretta per un ingresso a gradino

e(t) = 1/Λ ∫₀ (t) v_in(τ)dτ = K_r/s^p|1+F(jω)| = 1 =>, se si vuole imporre la specifica: |e(t)| < ε => |1 + F(jω)/K_d| < K_d²/_ε

per un ingresso sinusoidale

Risposta ai disturbi:

d₁: W_d1(s) = K_dd₁(s,1)+n_d(s).y_d1(s).|1+n_d(s,1)| => ŷ_d1 = W_dj1(s)_s=0, |V_d/(V_d+V_Kf)

d₂: K_dd₁(s).n_d(s,1)+n_d(s).n₁(s,1).n₁(s,1) => ŷ_d2 = W_d2(s)_s=0, |V_K/V_d

d₃: non può essere controllato agendo sul controllore

- caso 1: F(s) non ha poli in s=0g_d3y = W_Vt_a/V_t = K_yVK

- caso 2: F(s) ha almeno un polo in s=0ŷ₃/s: V/V

Parametri globali:

S, smorzamento:^maxlength: Δφmax - ŷ_d, dim. oscillazione = M_rt modulo alla risonanza: H_rmax/|W(|jω|)|^clean

Il legame tra sovraelongazione e modulo alla risonanza è dato da: 1/^pe _ка 0.85 Λ ₁₃₀ a^λπ

t_s, tempo di salita = |W(|jω|)| = V_sig11_t - inoltro della _X ()dp |

B₃ w_τ|m+s-3* E₅ I_kt => si sceglie il valore centrale ε→d₁ → w2=2πf con 2πf: fattore di scala tra m_wd_l & H_k

Controllore di primo tentativo:

G(s) = K_r/sⁿ

sistemi adatti per l'astratismo

Sintesi per tentativi in frequenza.

G_cl = V_os/s ^→ F_ts = G_us P_os/K_d

Verifica sui diagrammi di Bode di F(jω)

SI → R(s) = 1

NO → R(s) = f

SI ← Verifica sulla carta di Nichols di K(jω)

NO → Verifica sui diagrammi di Bode di F(jω)

Sintesi evoluta

Funzioni compensatrici (orti) elementari:

• Funzione anticipatrice: aumenta modulo e fase ^→ costante di tempo

R(s) = (1 + T_s2 s/m₂) / (1 + T_s1 s)

1 < m₂ < m₁

m₂ rappresenta la distanza tra lo zero e il polo; mai troppo grande

ω_z = 1 / T_s2 con m = (T_s2/T_s1)/m

ω_a → pulsazione di interruzione

• Funzione attenuatrice: riduce modulo e fase

R(s) = (1 + T_s1 s/m) / (1 + T_s2 s/m)

la riduzione di fase è un effetto negativo che deve essere minimizzato

Risposta a regime:

y^(t) [L t (u, t) = ξ(t)]

Luogo delle radici:

1. K=0 i poli in catena chiusa coincidono con quelli in catena aperta quindi i rami partono tutti dai poli
2. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all'asse reale
3. Asse reale: tutto l'asse reale appartiene al luogo. Una parte al luogo positivo, un'altra al luogo negativo

*

Tutte le porzioni di asse reale che lasciano alla propria destra

Un numero dispari (pari) di coli o zeri. esatti con la propria molteplicità

Appartengono al luogo positivo (negativo)

4. Il pto. singolare: in un pto. singolare di molteplicità μ, convergono e divergono 2μ porzioni di ramo, e le tangenti f(s,x₁) = 0 divengono

e dividono l'angolo giro in 2μ parti uguali

| 3μ &rdot; o zeri: radici multiple di f_s (x₁) = 0

5. s → ∞ m: numero dei zeri, n: numero di poli; m-n: asccso poli-zeri
• 5a. m rami convergono sugli zeri
• 5b. n-m rami divergono secondo gli asintoti che partono dal centro degli asintoti s₀

s₀ = (sum t pi)/np ↑

ω < 0.1ω_n -> (2kπ)/n-m ↑

ω > → (2kπ)/n-m → luogo positivo

luogo negativo