Formulario Analisi Matematica 1

Formulario Analisi Matematica 1

• Proprietà delle potenze

x⁰ = 1   ∀ x ∈ ℝ - {0}

1^α = 1   ∀ α ∈ ℝ

x^-p = 1/x^p   ∀ x ∈ ℝ, p ∈ ℕ, x > 0

(x^1/α)^α = x   ∀ x ∈ ℝ

(x^α)^β = x^αβ   ∀ α, β ∈ ℝ

(x^α y^α) = y^α   ∀ x, y ∈ ℝ

(x^β)^α = x^αβ   ∀ α, β ∈ ℝ

(x^α)^β = x^αβ   ∀ α ∈ ℝ

(x^β)^α = x^αβ   ∀ α ∈ ℕ

(x^m)ⁿ = x^mn   ∀ m, n ∈ ℕ

x^{n m}   ∀ x ∈ ℝ

• x < y, α > 0 ⇔ x^α < y^α   [monotonia]
• x < y, α < 0 ⇔ y^α < x^α   [confronto]
• x < y ⇔ x^β < y^β ⇔ α > 0   [confronto]
• x < y ⇔ x^β < y^β ⇔ β < 0

• Proprietà dei logaritmi

log_a1 = 0

log_aa = b

log_a(b ⋅ c) = log_ab + log_ac

log_a(b^c) = c ⋅ log_ab

log_a(b/c) = log_ab - log_ac

log_ab = log_cb / log_ca

Se 0 < x < y allora log_ax < log_ay se a ∈ (0, 1)

• Segno delle funzioni elementari

log(x) | log(x) > 0   x ≥ 1

e^x | e^x > 0   ∀ x ∈ ℝ

  D: ℝ

arctan(x) | arctan(x) > 0   x > 0

  D: ℝ

arccos(x) | arccos(x) > 0   x ∈ [0, 1]

  D: -1 ≤ x ≤ 1

Proprietà del modulo

f(x) = |x| = x, x > 0 -x, x < 0

• |x| ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
• |x| = 0 ⟺ x = 0
• |-x| = |x| ∀x ∈ ℝ
• |x| = |x| ∀x ∈ ℝ
• |x - y| = |x| - |y| ∀x, y ∈ ℝ
• |x / y| = |x| / |y| ∀x, y ∈ ℝ, y ≠ 0
• |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ ℝ (disuguaglianza triangolare)
• |x-y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ ℝ
• |x ≤ r ⟺ -r ≤ x ≤ r , r > 0 ∀x ∈ ℝ
• ∀ε > 0 x_o ∈ ℝ, |x-x_o| < ε ⟺ x_o-ε < x < x_o+ε
• |x-y| ≥ 0 ∀x, y ∈ ℝ
• |x-y| = |y-x| ∀x, y ∈ ℝ
• |x-y| ≤ |x-z| + |y-z| ∀x, y, z ∈ ℝ

Prodotti notevoli

• Quadrato di un binomio (x + y)² = x² + 2xy + y²
• Cubo di un binomio (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
• Differenza di quadrati (x + y)(x - y) = x² - y²
• (x + y)ⁿ(x - y)ⁿ = (x² - y²)ⁿ
• Somma di due cubi a³ + b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• Quadrato di un trinomio (x ± y ± z)² = x² + y² + z² ± 2xy ± 2xz ± 2yz
• Completamento del quadrato ax² + bx + c = a(x + ^b⁄_2a)² - Δ⁄_4a
• Δ = b² - 4ac

Biquadratica

Qx⁴ + bx² + c = 0, pongo x² = y e ne ottengo Δy² + by + c = 0, trovo x₁² = y₁ e x₂² = y₂

Somma per prodotto

x² + Sx + P { x + (a₁)(x + a₂) { a₁ + a₂ = sa₁ * a₂ = p

Funzioni monotone

• ∀x₁, x₂ ∈ A ( x₁ ≤ x₂ ⟺ f(x₁) ≤ f(x₂) ) stric. crescente
• ∀x₁, x₂ ∈ A ( x₁ ≤ x₂ ⟺ f(x₁) ≥ f(x₂) ) stric. decrescente
• f(x₁) ≤ f(x₁) crescente
• f(x₁) ≥ f(x₁) decrescente

Funzioni simmetriche e periodiche

• f(-x) = f(x) pari
• f(x + T) = f(x) ∀x ∈ A, x + T ∈ A periodica di periodo T ∈ ℝ₊
• f(-x) = - f(x), dispari

Valori Notevoli sin cos:

Disegno angoli:

Positivo: sin, cscNegativo: cos, tan, sec, cot

Positivo: sin, cos, tan, csc, sec, tanNegativo: "nulla"

Positivo: tan, cotNegativo: sin, cos, csc, sec

Positivo: cos, secNegativo: tan, cot, sin, csc

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LE FUNZIONI

definizion di limite

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ε A (0 < |x - x₀| < δ → |f(x) - ℓ| < ε)

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ε A (0 < |x - x₀| < δ → f(x) > M)

∀ε > 0 ∃δ >0 : ∀x ε A (x < x₀ → |f(x) - ℓ| < ε)

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ε A (x > x₀ → |f(x) - ℓ| < ε)

limite destro

limite sinistro

|f(x) - ℓ| < ε

sotto equivalenti:

1. ∀x_n → x₀, x_n ε A - {x₀} ∀n ε N → f(x_n) → ℓ
2. ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ε A (0 < |x - x₀| < δ ) → |f(x) - ℓ| < ε

x x → x₀ f(x) = ℓ

teo perm segno

se x_{x → x⁰}

teo carabinieri

se f(x) g(x) h(x)

• limite destro
• limite sinistro

equivalenti

• x_{x → 0}
• x_{x → x0}

f(x) — _{x → x0}

TAVOLA DELLE DERIVATE

DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

• (xⁿ)' = nx^n-1, con n ∈ ℕ e x ∈ ℝ
• (a^x)' = a^x ln a, con a ∈ ℝ e a > 0
• (x^a)' = a x^a-1, con a > 0, a ≠ 1
• (e^x)' = e^x, per ogni x ∈ ℝ
• (log_ax)' = ¹/_{x ln a}, con a > 0, a ≠ 1 e per ogni x > 0
• (log x)' = ¹/_x, per ogni x > 0
• (sin x)' = cos x, per ogni x ∈ ℝ
• (cos x)' = -sin x, per ogni x ∈ ℝ
• (tg x)' = ¹/_{cos² x} = 1 + tg² x, per ogni x ∈ ℝ \{^π/₂ + kπ}, k ∈ ℤ
• (cotg x)' = -¹/_{sin² x} = -1 - cotg² x, per ogni x ∈ ℝ \{kπ}, k ∈ ℤ
• (arcsin x)' = ¹/_√1-x², per ogni x ∈ (-1,1)
• (arccos x)' = -¹/_√1-x², per ogni x ∈ (-1,1)
• (arctg x)' = ¹/_1+x², per ogni x ∈ ℝ
• (sinh x)' = cosh x, per ogni x ∈ ℝ
• (cosh x)' = sinh x, per ogni x ∈ ℝ
• (tgh x)' = ¹/_{cosh² x} = 1 - tgh² x, per ogni x ∈ ℝ
• (sett sinh x)' = ¹/_√1+x², per ogni x ∈ ℝ
• (set toch x)' = ¹/_√1-x², per ogni x > 1
• (sett gh x)' = ¹/_1-x², per ogni x ∈ (-1,1)

REGOLE DI DERIVAZIONE

Siano f e g funzioni derivabili.

• (f ± g)'(x) = f'(x) ± g'(x)
• (f ⋅ g)'(x) = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)
• \(\bigg(\frac{f}{g}\bigg)'(x) = \frac{f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)}{(g(x))^2}\), con g(x) ≠ 0
• (f(g(x)))' = f'(g(x)) ⋅ g'(x), con Im(g) ⊆ Dom(f)
• (f^-1)'(y) = ¹/_f'(f^-1(y)), con f invertibile