Forme differenziali: Prove d'esame ed esercizi per studenti d'ingegneria

Forma differenziale

Condizione necessaria: affinchè una forma differenziale w ∈ C(Ω) dove Ω è un aperto ⊂Rⁿ sia esatta, è che risulti chiusa.

Sia dunque w(x,y) = A(x,y) dx + B(x,y) dy

• w è chiusa se dw/dx

dove dw = da + db: forma differenziale di 1 v è chiusa se i conv dv

1. a) dw/dy = dw/dx dw = da + db: dove da = ∂a/∂x dx + ∂a/∂y dy
2. b) dw/dx = ∂a/∂x cosi v = ∂/∂x

Poichè la condizione è necessaria ma non sufficiente per forma differenziale chiusa su ciò ci sarà da vedere che se non è chiusa, non è esatta procedere per vedere se è esatta.

1. 1) Si trova f: C¹(Ω) e si fa
2. 2) Se l'insieme definizione è semplicemente connesso (è solo su aperto) è esatto
3. 3) Se l'insieme di definizione non è semplicemente connesso allora si ha ciò via integrale curvatura ∫c da ov nicesc a zero, obblig è due

Line chiuso in particolar uno circonferenza

1. a) Esempio: 1 c. d. a. ∫Γ da = 0, ∫Γ y dx = 0

c. 1 d. a. R²-{0,0} : ω = d + altri veddi lo circonfer. C(0,0)

dove avrà ω = 1 2πδ x = 2.5δ

1. si d. ω opera te lezione che in questo sviluppo R²-{0,0} si teniamo a semplicemente connesso

oppure opto per lo segmento e l'insieme di del non è semplicemente connesso

a) Effettuare un'alternativa l'integrazione lungo una curva e spiegare

attenta attenzione

Metodo del segmento

f(x,y) = ∫₀^b a(t,y) dt = ∫₀^b b(x,t) dt

f(x,y) = ∫₀^a a(t,y) dt , ∫₀^b b(x,t) dt

f(x,y) è una primitiva di u

b) Ellisse - Calcolo

Derivato in

Dato un dominio D un insieme chiuso (unione di un numero aperto delle sue frontiere).

Un aperto connesso A tal possa essere semplicemente connesso se ogni curva regolare e chiusa e verificante a puo trovare un dominio limitato D attraverso contenuto esente A

• A - semplicemente connesso
• OB - non è semplicemente connesso

Richiamando l'esempio presentato l'aperto A ∈ R² - {O} non semplicemente connesso.

Un rettangolo aperto (chi avevessero a cuore versoae) R ∈ R² è un semplicemente connesso.

Teorema 1

Una Δ = a dx + b dy è forma C¹ nell'ittangolo aperto R ∈ R² è chiuso

∂f/∂y - ∂g/∂x = 0, w è sotto

R = rettangolo aperto

R

f(x,y) : [ ] w = [ ] f a(t,y) dy ] = f b(x,t) dt

Per convenzione incluso in cui il dominio se sono tutti o quella come grezzo positivo di provenire questo autovvero

A

∫ω=∫(sen(x+y)+xcos(x-y))dx-(xcos(x-y))dy

Verifichiamo che è un esatto, calcoliamo come primitive

∫C_1^C_2∈R^2

∂ψ/∂y=cos(x-y)-xsen(x+y) ...si chiama

Siccome l'insieme di definizione ...R e' aperto e semplicemente connesso

C calcoliamo come primitive

f(x,y)=xsen(x+y)

g(x,y) = √x + 6y + ½ √x √xy =

g(1,1) = 1 + √2