Equazioni differenziali: Esercizi e Prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Equazioni differenziali

1. Lineari:
   1. Equazioni differenziali del I ordine
      1. Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili)

         y' = a(x)y

      2. Equazioni differenziali non omogenee

         y' + a(x)y = b(x)

   2. Equazioni differenziali del II ordine
      1. Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti

         y'' + ay' + by = 0

      2. Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti

         y'' + ay' + by = f(x)

   3. Equazioni differenziali del n-esimo ordine
      1. Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti

         y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n-1y' + a_ny = 0

      2. Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti

         y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n-1y' + a_ny = f(x)

• non lineari

1. Equazioni differenziali del I ordine

3. Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili)

y' = a(x) b(y)

y' = -2x y + x e^-x2

y' = -2x y omogenea associata

^dy/_dx = -2x y => ^dy/_y = -2∫x dx => ln y = - ln e^x2 + c

ln y = ln e^c + ln e^-x2 => ln y = ln (e^c/e^x2) => y = ^C(x)/_e^x2

y = C(x).e^-x2 = -2x . C(x) . 1 . e^-x2

C'(x) e^-x2 -2xC(x)e^-x2 = -2x (C(x)). e^-x2 + x e^-x2

C'(x) . x . e^x2 = xC(x) = ^x2/₂ + C

C(x) l: = ^x2/₂ + c

L'integrale generale è y = (^x2/₂ + c) e^-x2

1) y' cos x - y sen x = 2x

y' - y tg x = ^2x/_{cos x}

y' - y tg x = 0 omogenea associata

∫ ^dy/_y = ∫ tg x dx = ln y = - ln cos x + c => y = ^C(x)/_{cos x}

y = ^{C'(x).cos x + C(x).sen x}/_cos²(x)

C'(x).cos x + (C(x) sen x)/(cos²x - (C(x) sen x) = ^2x/_cos²x

C'(x) 1 . cos x + (C(x) sen x)/(cos x - (C(x) sen x

C'(x) l = 2x => C(x) = x² + C

L'integrale generale è y = ^{xc2 + C}/_xc²

Equazioni lineari non omogenee a coeff. costanti

Sia

y^m + a₁(x) y^m-1 + ... + a_m-1(x) y' + a_m(x) y = f(x)

un'equazione lineare di ordine m, e coeff. a_i(x) e termine noto f(x)

L'equazione omogenea associata è

y^m + a₁y^m-1 + ... + a_m-1y' + a_my = 0

L'integrale generale è data da

y(x) = c₁ y₁(x) + ... + c_my_m(x) + y₀(x)

y⁴ - 2y⁴ - 3y = cos 2x

y⁴ - 2y⁴ - 3y = 0 omogenea associata

λ⁴ - 2λ - 3 = 0 equazione caratteristica

Δ = √12+4 = 4 > 0

λ = 2 ± √4+12

λ = 2 ± 4

2

y = eλx₁ + eλx₂ _3x integrale generale dell'omogenea associata

Essendo nella tabella con f(x) = cos 2x > 0 ± iβ non è una radice dell'equazione

caratteristica ergo

ȳ = A cos 2x + B sen 2x

ȳ' = -2A sen 2x + 2B cos 2x

ȳ'' = -4A cos 2x -4B sen 2x

Quindi:

-4A cos 2x - 4B sen 2x + 4A sen 2x - 4B cos 2x - 3A cos 2x - 3B sen 2x =

= cos 2x

{

-4A cos 2x - 4B cos 2x - 3A cos 2x = cos 2x

-4B sen 2x + 4A sen 2x - 3B sen 2x = 0

-4A - 4B - 3A = 1 => -7A = 1+4B

-4B + 4A - 3B = 0 => 4A -7B = 0

=> A = -(1+4B)

4(1+4B) + 49B = 0 => 65B - 4 = 0 => B = -4/65

A = -(1+4B)/4 = -(1 - 16/65)/4 => A = -(65 - 16)/65·7 = -49/65·7 => A = -7/65

L'integrale generale è y = C₁ eˣ + C₂ e⁻ˣ^3x + ^-7/₆₅ cos 2x - ⁴/₆₅ sen 2x

Problema di Cauchy

1. y'' - 2y' - y = 0
2. y(0) = 0
3. y'(0) = 2√2

Regione dell'omogeneizzato è y'' - 2y' - y = 0. L'eq. caratteristica sarà λ^2 - 2λ - 1 = 0

Δ = √(4+4) = 2 => λ = 1 ± √2

y(x) = c₁ e^(1+√2)x + c₂ e^(1-√2)x

1. y(x) = c₁ e^(1+√2)x + c₂ e^(1-√2)x
2. y(0) = 0
3. y(0) = 0

1. y'(0) = 2√2
2. y(x) = (1+√2)c₁ e^(1+√2)x + (1-√2)c₂ e^(1-√2)x

Nota: si sistema la 1 e la 2

1. c₁ + √2c₁ + c₂ - √2c₂ = 2√2
2. -2√2c₂ = 2√2 => c₂ = -1

La soluzione del problema di Cauchy è:

y(x) = e^(1+√2)x - e^(1-√2)x