Limiti :Esercizi e prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Calcolo del limite con c finito o infinito

lim_x→c f(x) = f(c)

1. f(c) è un numero reale
2. f(c) dà luogo a forme indeterminate di immediata interpretazione
3. f(c) dà luogo a forme indeterminate che un’interpretazione non è immediato:

0/0, ∞/∞, 0⁰, 1^∞, log (∞⁰), log (0⁺), log (0⁰), log (∞^∞), log ^∞₀, log ^0+₀₊

Esercizi:

1. a)
2. lim_x→π/2 ^{sen x - cos x}/_x = ^{sen π/2 - cos π/2}/_π/2 = ^{1 - 0}/_π/2 = ²/_π
3. limx→0+ x/2x + 5x4 = 1 + 4/1 + 5*0 = 1/2 = 1
4. limx→3- √(x)2-3/3 - x = √(3+)-3/3 = 0+ (x tende a 3 da destra, [log] tende a 0, x nel coseno)
5. lim_x→c x^-1 - x^-1 = c^-1 - c^-1 = 0

2. b)
3. lim_x→∞ x + z² / cos x = 0⁺ / ∞ = 0
4. limx→c+ x - 2/(1 - x)-1 = 1 / -1 = -∞
5. lim_x→c sen Nx = sen ∞ / ∞ = sen 0 / ∞ = 0
6. lim_x→c ³/_{2 - x 3} = ∞
7. lim_x→∞ tg x = tg π/2^- = ∞
8. lim_x→0⁺ log x = log 0⁺ = -∞
9. lim_x→∞ 1 / log x = 1 / log 0⁺ = ∞ (c^-∞) = -∞
10. lim_x→∞ (log x)^x-2 = log 0⁺⁰⁺ = log 0^+-3 = (1 / log⁰⁺)³ = - ( ⁴/_∞ )³ = 0^-

1. lim_x→∞ (A / x)^{(- x0)} (A / x)^∞ = (∞)^∞ = ∞

i. lim_x→∞ log_x (x^{- x + 1/2}) = log_x (x^{∞ + 1/2}) = log_x (A_∞ - 1/2) = log_∞ (0 + 1/2) = log_∞ 1/2 < 0

b) Si riconduce a ∞ Sia lim f(x)=0 _x→c lim g(x)=∞ _x→c Si cerca il lim f(x)·g(x)=0·∞ _x→c

Si segue la seguente procedura

f(x)= ¹ _g(x) ; g(x)= ¹ _f(x); lim f(x)·g(x)=lim ^g(x) ₁ = ∞ ; g(x)= ∞ ; ∞ = ∞_{x→c x→c}

Esercizi :

1) lim ^{(x- π )} ₂ tg x = 0 ·(+∞) _{x→ ^π 2}

Quindi esalto

lim ^{tg x} ₁ = -∞ _{x→ ^π 2}

Caso 0 > x limiti di funzioni irrazionali.

Si tratta di eliminare l'indeterminazione cambiando la funzione in un'altra avente lo stesso limite con questi metodi:

• 1) Moltiplicare razionalmente il numeratore e il denominatore
• 2) Moltiplicare scomposti
• 3) Miscelare

Esercizi:

1. lim_x→1 ^{√x - 1}/_{√x + 1} = lim_x→1 ^{x - 1}/_{(x - 1)(√x + 1)}

2. lim_x→1 ^{√x - 1}/_{x - 1} = lim_x→1 ^{x - 1}/_{(x^½)(√x + 1)} = ¹/_{1 + 1} = ¹/₂ = ¹/₂

3. Si poteva arrivare allo stesso risultato scomponendo il denominatore

   lim_x→4 ^{√x - 1}/_{√x - 1} = lim_x→4 ¹/_{√x + 1} = ¹/_{1 + 1} = ¹/₂

4. a) lim_x→2 ^{√x - 2}/_{√x - 2} = ⁰/₀

5. Razionalizzo sia il numeratore che il denominatore

   lim_x→2 ^{√x + 2 - √x}/_{√x - 2} = lim_x→2 x sqrt(x + 2)^{√x + 2}/√x = lim_x→2 ^{(x - 2)x sqrt(x + 2)}/_{(x + 2)x sqrt(x + 2)} = 0

6. b) lim_x→1 ^{√x - 2}/_{√x - 2}

1.) ^lim _x→∞ -x(1+¹/_x) / √x[√(1-¹/_x) + √²/_x] => ^lim _x→∞ -³/_√x(1+¹/_x) / √(1-¹/_√x) + √²/_x√^{1/_√4 = -∞/1 + √2/_1/√4 = -∞}

2.) ^lim _x→∞ (√²x²+3x+x) - (√₂x+3) / x = 0 - ∞

x = 0 - ∞

√(^{x2+3xx-1) = 0 - ∞}

3.) ^lim _x→∞ (√²x²+3x - x) / √x²+3x+3+3x/x => ^lim _x→∞ x³+3x-3x² / √x²x+3+x = ∞/∞

4.) ^lim _x→∞ x(9+³/_x) / √(⁴x²+9))³/_x - ^{4)3 lim _x→∞ 9+3/_x / √4x_x+1/x}

7.) x^{2x_3x+1 / (√(2x_3x+1+ √2x₄) =}

^lim _x→∞ -3x+2 / √x^2-3+1/xx-1/x

^lim _x→∞ [-^{x_3-2/x] / x[√-2+1/x]|+√-1/x => -x(3-2/x)}

=> ³/₁₊₁ = ^3/₂

8.) ^lim _x→∞ √x₂ ^{x = b}_xl