Fondamenti di sistemi dinamici -Elaborato

L

conseguenza possiamo definire:

6 = 10.81

- tasso di convergenza: V

J 6 = 3.09

- rapidità di convergenza: (V W )

J X,J 3

Il modo pseudoperiodico presenta la seguente forma:

CN."*A

cos(3.48 + ) ()

C6

Infine, il modo pseudoperiodico presenta una costante di tempo, definita:

1

= − = 3.0893

L

L

Ponendo il generico sfasamento nullo se ne può tracciare l’andamento grafico:

Figura 3 Modo pseudoperiodico

Dal grafico si deduce che il modo converge a zero, come già previsto; in particolare per una

= 3.0893 , 7.

costante di tempo il modo può considerarsi estinto in un tempo t pari a

La risposta in evoluzione libera è associata alla somma dei due modi di evoluzione pesati con

opportuni coefficienti: e . Di conseguenza, risulta essere:

6 * CE."F*EA CN."*A

[ )]

() = + cos(3.48 + ()

cLd 6 * C6

la costante di tempo attribuita alla risposta libera è quella relativa al modo avente la costante di tempo

maggiore, ovvero il modo pseudoperiodico:

= 3.0893 4

3. La funzione di trasferimento ed i suoi parametri caratteristici

Trasformando il modello implicito ingresso-uscita nel dominio di Laplace, la risposta in

evoluzione forzata si presenta nella seguente forma:

()

= () ()

hij

()

dove rappresenta la funzione di trasferimento.

La funzione di trasferimento presenta una struttura razionale fratta espressa in forma

polinomiale: o L

∑

L

LpN

() = \

∑ L

L

LpN

che nel caso preso in esame è: 270

() = " *

+ 8 + 17 + 90

(0) = 3.0

dove il valore di guadagno statico è pari a:

La funzione non presenta zeri ( ), poiché il numeratore è di grado 0, ma fornisce tre

L

poli ( ), che si ottengono anche in questo caso con il comando roots in MatLab:

L

= −7.3527 + 0.0000

6

= −0.3237 + 3.4836

*

= −0.3237 − 3.4836

" Si riporta di seguito la rappresentazione della funzione in forma guadagno-zeri-poli e la

d

s t

= = 3.0

corrispondente mappa zeri-poli, con, guadagno di alta frequenza, :

u t

o

∏ ( − ) 270

L

LpN

s

() = = 3.0

\

∏ ( − ) ( + 7.3527)( + 0.3237 − 3.4836)( + 0.3237 + 3.4836)

L

LpN Figura 4 Mappa zeri poli 5

4. La proprietà di stabilità al variare del coefficiente tra il 50% e

il 200% del valore assegnato

La proprietà di stabilità di un sistema lineare e stazionario è legata al segno della parte

reale delle radici del polinomio caratteristico, ovvero al segno della parte reale dei poli della funzione

di trasferimento. Dal punto di vista applicativo risulta molto utile il criterio di Routh.

Il polinomio caratteristico da esaminare è il seguente:

" *

() = + 8 + 17 + 90

= 90.

dove il coefficiente N

Al fine di valutare la stabilità al variare del coefficiente tra il 50% e il 200% del valore

N

assegnato, si introduce una variabile come fattore moltiplicativo del termine del polinomio

N

0.5 ≤ ≤ 2

caratteristico tale che:

Il primo passo per applicare il criterio di Routh consiste nella costruzione della tabella

di Routh:

dove il coefficiente si ricava nel seguente modo:

6 1 1

1 17 (90

= − { { = − − 136) = 17 − 11.25

6 8 90

8 8

Otteniamo:

dove il coefficiente si ricava nel seguente modo:

N

1 1

8 90 (90)(17

= − { {= − 11.25) = 90

N 17 − 11.25 0

17 − 11.25 17 − 11.25 6

La tabella di Routh, infine, è la seguente:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare e stazionario sia

asintoticamente stabile è che tutti gli elementi in prima colonna della tabella di Routh siano dello

stesso segno.

Tale condizione nella pratica si traduce nel seguente sistema di disequazioni:

17 − 11.25 > 0 < 1.5111

| ⇔ | ⇔ 0 < < 1.5111 ⟺ 0.5 ≤ < 1.5111

90 > 0 >0

0.5 ≤ < 1.5111

ovvero, l’intervallo è il range dei valori di per cui si verifica l’asintotica stabilità.

= 1.5111,

Consideriamo il caso in cui la tabella di Routh diventa:

dove il coefficiente si ricava nel seguente modo:

6 1 1

1 17 (136

= − { { = − − 136) = 0

6 8 136

8 8

Otteniamo una singolarità nella tabella di Routh: 7

Per proseguire nella costruzione della tabella di Routh si definisce un polinomio

()

ausiliario avente come coefficienti gli elementi della riga immediatamente precedente quella

*

nulla, grado pari all’indice di quest’ultima e dato che la riga nulla, in questo caso, è di indice dispari,

nel polinomio figurano potenze pari.

Il polinomio da considerare è il seguente:

*

() = 8 + 136

*

Derivando quest’ultimo si ottiene:

*s

() = 16

16 0

dal quale si ricava il coefficiente che sostituisce lo nella tabella di Routh consentendo la

prosecuzione del calcolo.

dove il coefficiente si ricava nel seguente modo:

N 1 1

8 136 (16)(136)

= − { {= = 136

N 16 0

16 16

La tabella di Routh, infine, è la seguente:

= 136

per il sistema risulta stabile.

N Nella prima parte della tabella è presente una permanenza di segno da parte degli

1 < 0

elementi della prima colonna ( ).

Nella seconda parte della tabella, essendosi presentata una singolarità non è esclusa la

presenza di radici a parte reale nulla, quindi bisogna osservare le singole variazioni di segno. Per ogni

variazione si ha una radice a parte reale positiva e per la simmetria quadrantale una radice a parte

reale negativa, le restanti radici necessarie ad eguagliare il grado del polinomio saranno a parte reale

nulla. Nel nostro caso non ci sono variazioni, quindi si hanno due radici a parte reale nulla

2 = 0).

( 8

Per verifica sono state calcolate le radici in MatLab e risultano:

= −8.0000

6

= 4.1231

*

= − 4.1231

" Il sistema risulta: 0.5 ≤ < 1.5111

- Asintoticamente stabile: = 1.5111

- Stabile: 1.5111 < ≤ 2

- Instabile: 9

5. La funzione di risposta armonica ed i suoi parametri caratteristici

Ad un forzamento di tipo sinusoidale, un sistema lineare e stazionario asintoticamente

stabile risponde con un’uscita anch’essa di tipo sinusoidale, avente stessa pulsazione della sinusoide

∠(

ƒ)

di ingresso. L’uscita risulta essere sfasata della quantità e scalata di un fattore pari a

|(

ƒ)|. Si definisce funzione di risposta armonica la restrizione della funzione di trasferimento

all’asse immaginario; tale restrizione contiene tutte le informazioni utili e necessarie per qualificare

il regime permanente sinusoidale di un sistema lineare e stazionario asintoticamente stabile.

La funzione di risposta armonica è: 270

() = () " *

+ 8() + 17 + 90

Segue la rappresentazione della funzione di risposta armonica con la coppia di

diagrammi modulo e fase (diagramma di Bode).

Figura 5 Diagrammi di Bode 10

Dall’analisi dei diagrammi di Bode si ricavano i seguenti parametri:

()

- Guadagno statico: valore del modulo di al tendere di a zero |(0)| = 9.5

:

- Banda passante a frequenza in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli

3

presenta un’attenuazione di rispetto al guadagno statico = 0.814

"

:

- Banda passante a frequenza in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli

6

presenta un’attenuazione di rispetto al guadagno statico = 0.892

O

:

- Banda passante a frequenza in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli

20

presenta un’attenuazione di rispetto al guadagno statico = 1.49

*N

: () 20

- Sfasamento a fase di in corrispondenza della banda passante a

∘

= −227

*N

- Frequenza di risonanza: frequenza in corrispondenza del picco massimo della funzione di

risposta armonica = 0.552

j

- Picco di risonanza: valore del modulo del picco massimo della risposta armonica

|( )| = 23.4

j

- Modulo di risonanza: valore del picco di risonanza normalizzato rispetto al guadagno statico

)| |(0)|)

(|( −

j = 13.9 ≈ 4.95

j

- Banda al margine della risonanza: frequenza in corrispondenza della quale il picco di

3

risonanza presenta un’attenuazione di s

= 0.599

Figura 6 Diagrammi di Bode con parametri caratteristici 11

6. I parametri della risposta indiciale, mediante l’uso dei legami

(, )

globali (, )

L’uso dei legami globali consente di ricavare i seguenti parametri della risposta

indiciale:

- Tempo di salita: 2

≈ = 0.57

’ | |

L oL\

- Tempo di assestamento al 5%: 3

≈ = 9.27

u,F% | |

L oL\

- Sovraelongazione percentuale –

C”V/•6CV

= = 0.75 = 75%

7. I parametri della risposta indiciale, mediante l’uso dei legami

(, )

globali (, )

L’uso dei legami globali consente di ricavare i seguenti parametri della risposta

indiciale, partendo dai parametri precedentemente ricavati dall’analisi dei diagrammi di Bode.

Si definiscono dunque:

- Tempo di salita: 0.45

= = 0.50

’

O

- Tempo all’emivalore: | |

*N

= 0.002 = 0.50

˜

O

- Sovraelongazione percentuale:

j "

= 0.42 ln › œ + 0.18 = 0.81 = 81%

O

- Periodo della prima oscillazione: 1.22

= = 2.04

s

- Tempo di assestamento al 5%: 1

j "

= ›2.16 − 0.4œ = 10.44

u,F%

O O

I parametri ottenuti sono stati ricavati mediante l’utilizzo dei