Fisica II - Esercitazioni svolte

R

0

Problema 5. Problema 6. 2

Tre lamine metalliche quadrate parallele, di lato L=120cm, sono poste a distanza Un condensatore piano di superficie quadrata S=200 cm e distanza tra le armature

h=1.1 cm una dall’altra. Tra le lamine vi sono due sostanze dielettriche, con costanti h=5mm viene caricato fino a raggiungere una differenza di potenziale tra le due

dielettriche relative k =2.1 e k =1.7. Le due lamine esterne sono connesse ad un armature di V =1000V, e quindi isolato.

1 2 0

generatore che le mantiene alla tensione V =120V. Determinare: Successivamente viene introdotto un blocco a forma di parallelepipedo con la

0 superficie della stessa forma e dimensione di quella del condensatore. Il blocco è

costituito da due strati entrambi di altezza h =1mm, ma di materiale dielettrico con

1

costante dielettrica k=3 il primo dal basso, e di materiale conduttore il secondo. Si

k

1 V

0

k chiede in tali condizioni:

2 1. La carica depositata sulle armature del condensatore

2. La capacità del condensatore

1. Quale è la capacità totale del sistema. 3. Il lavoro necessario ad estrarre il blocco

2. Quanto vale il campo elettrico E nel dielettrico 1.

1

3. Quale è la variazione di energia elettrostatica se i due dielettrici vengono

estratti.

Soluzione:

Le due capacità C1 e C2 si possono considerare in serie. Hanno valori diversi a causa

delle diverse costanti dielettriche:

ε −

⋅ ⋅ ⋅

12 2

k L 8.85 10 2.1 1.2

= = =

0 1

C nF

2.433

1 0.011

h

ε −

⋅ ⋅ ⋅

12 2

k L 8.85 10 1.7 1.2

= = =

0 2 1.97

C nF (5.1)

2 0.011

h

CC

= = 1.089

C nF

1 2

+

C C

1 2 Soluzione:

Le due capacità in serie hanno la stessa carica Q, che è anche la carica della serie dei

due. Questo fatto può essere usato per calcolare le tensioni su ciascun condensatore e La carica iniziale rimane invariata poiché il condensatore viene isolato:

quindi i campi elettrici: ε SV −

= = = ⋅ =

9

− −

= = ⋅ ⋅ = ⋅ 0

Q C V 35.4 10 C , C 35.4 pF (6.1)

9 7

Q CV C

1.098 10 120 1.307 10 0 0

h

−

⋅ 7

Q C

1.307 10 Il condensatore può essere visto come la somma di due condensatori in serie, con

= = = (5.2)

V V

53.7

1 −

⋅ 9 costanti dielettriche diverse:

2.433 10

C

1 ε ε

k S S

V = + = = = = =

0 0

C C C C pF C pF C pF

1 1 1 , 531 , 59 , 53.4 (6.2)

= = 4.88 /

E KV m

1 a b b a −

h h h

2

1 h 1 1

Il lavoro per estrarre il blocco è pari alla differenza tra l’energia accumulata nel

L’energia elettrostatica iniziale vale: condensatore senza e con il blocco inserito:

1 1 − −

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 9 2 6

U C V J (5.3)

1.089 10 120 7.841 10 2 2

1 Q 1 Q

I I

2 2 µ µ µ

= = = = = (6.3)

E 17.7 J , E 11.7 J , W 6 J

2 1

Togliendo i dielettrici varia la capacità del sistema, mentre il generatore mantiene la 2 C 2 C

0

tensione costante, e quindi varia l’energia accumulata:

ε −

⋅ ⋅

2 12 2

L 8.85 10 1.2

= = =

0 0.579

C nF

F 2 0.022

h

1 1 − −

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

2 9 2 6

0.58 10 120 4.171 10

U C V J (5.4)

F F

2 2 −

∆ = − = − ⋅ 6

3.67 10

U U U J

F I

Problema 7. Problema 8.

Due lastre metalliche piane, di Un elettrodo formato da un filo metallico di raggio R = 100µm è teso sull’asse di un

1

2

superficie pari a 0.8 m , sono cilindro conduttore cavo di raggio interno R = 11.0mm. Il cilindro, lungo d=10 cm, è

2

affacciate alla distanza h = 4mm e riempito di un gas con rigidità dielettrica pari a 2.2MV/m.

h

V

formano quindi un condensatore R

piano. Le due armature sono 2

connesse ad un generatore di M Considerando trascurabili gli effetti di bordo,

tensione con differenza di determinare:

potenziale V. L’armatura inferiore

è fissa, quella superiore è mantenuta in equilibrio meccanico da una massa M= 0.8Kg, 1. Il lavoro compiuto per caricare gli elettrodi fino a

d

come da figura. Inizialmente non vi è dielettrico tra le armature. 1000V;

2. La differenza di potenziale V che si può applicare

M

1. Calcolare, trascurando gli effetti di bordo, la capacità del condensatore. tra i due elettrodi per non avere scariche nel gas.

2. Considerando trascurabili le masse delle lastre, della fune e della carrucola,

calcolare la tensione V alla quale il sistema è in equilibrio.

3. Se tra le lastre viene successivamente inserito un dielettrico di spessore d = 2mm e

costante dielettrica relativa k = 2.5, calcolare la nuova capacità. Soluzione:

4. In questa nuova condizione, determinare se è variata, e di quanto, la forza tra le

armature. Il sistema è un condensatore cilindrico, che ha capacità pari a:

πε

2 d

Soluzione = =

0 (8.1)

C 1.18 pF

R

ln 2

R

Il condensatore ha capacità pari a: 1

ε Σ Il lavoro fatto per caricarlo è pertanto:

= =

0

C 1.77 nF (7.1) 1

h µ

= =

2 (8.2)

W CV 0.59 W

La tensione deve bilanciare la forza di attrazione elettrostatica, che si calcola nota la 2

ε

= 2 Il campo elettrico all’interno del condensatore è quello di un filo rettilineo infinito con

P E 2 :

pressione elettrostatica 0 λ = :

una densità di carica Q d

ε ε

2 2

E V

= Σ= Σ = =

0 0

F Mg 7.95 N λ

2

2 2 h =

E (8.3)

πε

(7.2) 2 r

2 0

2 h Mg

= = λ πε

V 5.95 KV =

E E R

Quindi ha il valore più intenso sulla superficie del filo: 2 . Perchè non

ε Σ 1 0 1

0 ci siano scariche il campo elettrico massimo non dovrà superare i :

2.2M V m

Una volta inserito il dielettrico il condensatore si considera la serie di due ≤ =

E E M V m

2.2 (8.4)

condensatori: MAX

1

La differenza di potenziale ai capi del condensatore (integrale del campo elettrico)

−

1 1 1 h d d

= + = + vale:

ε ε

Σ Σ (7.3)

C C C k λ

1 2 0 0 R

=

V ln (8.5)

2

=

C 2.53

nF πε R

2

A potenziale costante la carica aumenta al crescere della capacità, e quindi aumenta 0 1

E’ immediato quindi mettere in relazione la differenza di potenziale con il campo

anche la forza: λ

elettrico massimo, eliminando dalle (8.3) e (8.5). Si ottiene così la massima

σ 2 2 2 2

Q C V

= Σ= = =

F 14.1

N (7.4) tensione applicabile al condensatore per non avere scariche:

ε ε ε

Σ Σ

2 2 2 R

0 0 0 ∆ = =

V E R V

ln 1034 (8.6)

2

max max 1 R

1

ottenendo lo stesso risultato. Infine, per l’energia fornita dal generatore, si dovrà

Problema 9. scrivere: 50

 

50 50 t t

2

V − −

R ∫ ∫ −

= = = − = ⋅

2 2

0

W V idt e dt CV e J

3.93 10 (9.6)

2 2

RC RC

 

0 0

gen R

2  

0 0 0

= +

E’ chiaro che varrà sempre la relazione 2

W W W .

GEN R C

V 0 C

R Ω, µ

Nel circuito in figura, con , , il condensatore è

V =100V R=5M C=10 F

0

inizialmente scarico e l’interruttore è aperto. Determinare dopo 50 secondi dall’inizio

della carica del condensatore (chiusura dell’interruttore):

1. L’energia dissipata su una delle resistenze R.

2. L’energia accumulata sul condensatore C.

3. L’energia fornita dal generatore.

Soluzione: 2R ,

Si tratta della carica di un condensatore attraverso una resistenza totale pari a

τ = . La corrente durante la fase di carica vale:

quindi con la costante di tempo 2RC t

V −

= 0

i e (9.1)

RC

2

R

2 2

e quindi l’energia dissipata su di una resistenza si calcola integrando la potenza Ri

nel tempo: 50

 

50 50 50

2 t t t

2 2 2

V V CV

− − −

∫ ∫ ∫ −

= = = = − = ⋅

2 2

0 0 0

W Ri dt R e dt e dt e J

1.6 10 (9.2)

2 RC RC RC

 

2

R R

4 4 4

 

0 0 0 0

2

L’energia accumulata sul condensatore è pari a CV 2 . Nota che negli istanti

intermedi non vale la relazione che vede l’energia dissipata essere esattamente uguale

a quella accumulata nel condensatore. Si tratta pertanto di calcolare quale è la

tensione sul condensatore dopo 50 secondi di carica:

 

t

−

= − (9.3)

V V 1 e 2 RC

 

0

C  

 

50 50

1 1 − − −

= = + − = ⋅

2 2 3 (9.4)

1 2 7.7 10

W CV CV e e J

2

RC RC

 

0

C

2 2  

Alternativamente si può scrivere:

 

50 50 2

t t

2

V − −

∫ ∫

= = −

0

W iV dt e e dt

2 2

RC RC

 

C 2 R  

0 0 (9.5)

50 50

   

50 50

t t t t

2 2 2

V V CV

− − − −

∫ ∫

= − = − 2

0 0 0

W e dt e dt e CV e

2 2

RC RC RC RC

   

0

2 2 2

R R    

0 0 0 0

Problema 10. Q

Il lavoro fatto dal generatore, visto che attraverso di esso è fluita la carica , è

1

semplicemente:

2

Σ =

Un condensatore piano di superficie , le cui armature distano tra loro

1m = =

W Q V nJ

28.3 (10.4)

1 0

GEN

= 8.82mm si trova in vuoto ed è connesso ad un generatore di forza elettromotrice

d Mentre l’energia accumulata nella capacità è:

µ

= =

V 10V attraverso un interruttore (1) che rimane chiuso solo per un tempo e

t 1 s

0 2

Q

1

= = =

2

,

= = = Ω U CV nJ

4 (10.5)

1

da 3 resistenze uguali disposte come in figura.

R 3 R 4 R 5 2 K ,1

e C C

2 2

Calcolare: = = = 2,1

W Q V CV V

Nota bene che è diverso da . Il campo elettrico nel

2

U CV

1) la tensione V e la carica Q del