Fisica atomica

Capitolo 1: Complementi di meccanica classica

Prima di concentrarsi sugli aspetti della meccanica quantistica, è bene soffermarsi su concetti fondamentali della meccanica classica.

1.1 Spazio delle fasi

Il primo di tali concetti è quello di spazio degli stati. Come è ben noto, il moto di una particella, che possiede 3 gradi di libertà in uno spazio tridimensionale, è descritto dalla sua posizione, r, dalla sua quantità di moto, p, e da una legge che ne governi le variazioni nel tempo. Dunque, per descrivere il moto di tale particella sono necessarie 6 variabili distinte - le coordinate spaziali e le componenti della quantità di moto. In generale, un sistema composto da N particelle necessiterà di 6N variabili per una sua descrizione.

L'insieme di tali coordinate viene detto stato del sistema e può essere descritto in modo matematico da quello che viene detto spazio degli stati, o spazio delle fasi, nel quale vengono rappresentati tutti i possibili stati. Nel semplice caso monodimensionale, dunque con la sola coordinata x e quantità di moto p, lo spazio degli stati è rappresentabile graficamente.

Figura #1: a sinistra la rappresentazione di un moto rettilineo uniforme (essendo p=mv=costante); a destra il grafico di un moto oscillatorio armonico (si dimostra dalla conservazione dell'energia che la traiettoria in tale spazio è un'ellisse).

Sullo spazio delle fasi è possibile definire quella che viene chiamata azione. Essa è una grandezza fisica fondamentale nella meccanica (sia classica che quantistica) e corrisponde all'area interna alla traiettoria nello spazio delle fasi. Si può mostrare che, per il moto armonico, l'azione vale \( S = 2\pi\frac{\sqrt{2mE}}{k} = ET \), nella quale E è l'energia totale del moto e T il periodo di oscillazione. Notiamo che essa è misurata in J∙s.

1.2 Generalizzazione della descrizione di un sistema

I gradi di libertà di un dato sistema non sono necessariamente espressi in coordinate cartesiane; spesso può infatti essere più comoda la scelta di un altro sistema di coordinate. Tuttavia, s grandezze qualsiasi \( q_1, q_2, \ldots, q_s \) caratterizzano completamente la posizione del sistema (con s gradi di libertà); esse vengono dette coordinate generalizzate. Le loro derivate, \( \dot{q}_i \), sono invece dette velocità generalizzate.

Come abbiamo detto, la conoscenza delle sole coordinate generalizzate non è sufficiente a determinare lo stato meccanico del sistema in un dato istante, non permette cioè di prevedere la posizione del sistema negli istanti successivi. Se però sono date tutte le coordinate e le velocità, è possibile determinare interamente lo stato del sistema e, in linea di massima, prevederne il moto futuro. Dal punto di vista matematico, questo significa definire univocamente un legame tra tali parametri e le accelerazioni in un dato istante.

Le relazioni che legano le accelerazioni alle coordinate e le velocità sono dette equazioni del moto; in generale, rispetto alle funzioni \( q(t) \), si tratta di equazioni differenziali del secondo ordine.

1.3 Principio di minima azione

Una forma più generale della legge del moto è data dal principio di minima azione (o principio di Hamilton). Secondo questo principio, ogni sistema meccanico è caratterizzato da una determinata funzione lagrangiana del sistema; inoltre, il moto del sistema soddisfa la seguente condizione.

Supponiamo che negli istanti \( t = t_1 \) e \( t = t_2 \) il sistema occupi posizioni determinate, caratterizzate dai due insiemi di valori delle coordinate \( q^{(1)} \) e \( q^{(2)} \). Allora, entro queste posizioni, il sistema si muove in modo tale che l'integrale \( S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt \) abbia il più piccolo valore possibile. Questo integrale corrisponde esattamente all'azione del sistema.

Stabiliamo ora quali sono le equazioni differenziali che permettono di determinare la minima azione. Supponiamo per semplicità che il sistema abbia un solo grado di libertà e supponiamo che \( q = q(t) \) sia esattamente la funzione per la quale S ha un minimo. Ciò significa che S cresce sostituendo \( q(t) \) con una funzione qualsiasi del tipo \( q(t) + \delta q(t) \), dove \( \delta q(t) \) è una funzione piccola in tutto l'intervallo di tempo da \( t_1 \) a \( t_2 \), detta variazione di \( q(t) \). Poiché agli estremi dell'intervallo sono fissate le condizioni al bordo su \( q(t) \), si ha \( \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 \).

La variazione di S è data dalla differenza \( \int_{t_1}^{t_2} \left[ \mathcal{L}(q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q}, t) - \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \right] \, dt \).

Sviluppando in serie la prima integranda e ponendo a zero le variazioni \( \delta q \) e \( \delta \dot{q} \), il principio di minima azione può essere riscritto come \( \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta \left( \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \right) \, dt = 0 \). Osservando che \( \delta \dot{q} = \frac{d}{dt} \delta q \), integriamo per parti il secondo termine e otteniamo:

\[ \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) \delta q \, dt = 0 \]

Il primo termine sparisce, in base alle condizioni poste in \( t_1 \) e \( t_2 \), mentre poiché l'integrale deve essere uguale a zero per valori arbitrari di \( \delta q \), si ottiene che l'espressione integranda è identicamente nulla. Dunque \( \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = 0 \).

Per un sistema con più gradi di libertà, semplicemente si devono variare s funzioni diverse, ottenendo così s equazioni del tipo:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0 \]

Queste sono le equazioni di Lagrange. Se è nota la funzione di Lagrange di un dato sistema meccanico, allora queste equazioni stabiliscono un legame tra le accelerazioni, le velocità e le coordinate, definendo dunque le equazioni del moto del sistema.

1.4 Proprietà della lagrangiana e delle equazioni di Lagrange

• La lagrangiana cambia la sua forma al variare del sistema di riferimento impiegato per la descrizione del moto considerato, mentre le equazioni di Lagrange rimangono sempre le stesse. Questo non dovrebbe sorprendere, poiché l'introduzione delle coordinate generalizzate è stata fatta proprio per ottenere una generalizzazione delle equazioni della meccanica. Inoltre, la lagrangiana è uno scalare invariante con le coordinate, ovvero al variare di esse il valore della funzione non cambia.
• La lagrangiana di due sistemi non interagenti equivale alla somma delle lagrangiane dei singoli sistemi. Nel caso di interazione tra i due sistemi, è necessario introdurre una lagrangiana di interazione, a cui faremo un accenno quando parleremo del moto di una carica immersa in un campo elettromagnetico.
• La moltiplicazione della funzione di Lagrange per una costante arbitraria non produce alcun effetto sulle equazioni del moto. Ciò corrisponde sostanzialmente alla scelta delle unità di misura di questa grandezza fisica.
• Consideriamo due lagrangiane \(\mathcal{L}'(q, \dot{q}, t)\) e \(\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)\) che differiscono per una derivata totale rispetto al tempo di una funzione delle sole coordinate e del tempo, \( f(q,t) \):

\[\mathcal{L}'(q, \dot{q}, t) = \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) + \frac{d}{dt} f(q, t)\]

Gli integrali d'azione valutati con queste due funzioni sono legati dalla relazione:

\[\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}'(q, \dot{q}, t) \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt + \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} f(q, t) \, dt\]

cioè differiscono per un termine che si annulla quando varia l'azione. Dunque, la condizione \(\delta S' = 0\) coincide con la condizione \(\delta S = 0\), e la forma delle equazioni del moto resta immutata. La funzione di Lagrange è determinata quindi a meno di una derivata totale additiva di una funzione qualsiasi delle coordinate e del tempo.

È possibile definire dalla lagrangiana quelli che vengono detti momenti cinetici coniugati ad una coordinata generalizzata. Essi sono dati da:

\[p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\]

È possibile dimostrare che se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una coordinata generalizzata \( q_i \), il momento cinetico coniugato ad essa sarà costante nel tempo. In particolare, tale coordinata generalizzata viene detta coordinata ciclica.

1.5 Lagrangiana di un punto materiale libero

La scelta di un sistema di riferimento adatto allo studio del moto è di fondamentale importanza. Infatti, una scelta errata può rendere la descrizione di fenomeni fisici semplici assai complessa. Sorge quindi il problema di tale scelta.

Rispetto ad un sistema di riferimento qualunque, lo spazio è eterogeneo ed anisotropo, così come non è omogeneo il tempo. Tuttavia, si può sempre trovare un sistema di riferimento tale che rispetto ad esso lo spazio sia omogeneo ed isotropo ed il tempo omogeneo. Un sistema con queste caratteristiche si chiama sistema inerziale. In particolare, in un tale sistema, un corpo libero in quiete in un dato istante resterà tale per un periodo di tempo illimitato.

Possiamo ora trarre alcune conclusioni generali sulla forma della lagrangiana per un punto materiale libero in un sistema inerziale. L'omogeneità dello spazio e del tempo significa che questa funzione non può contenere in forma esplicita né il raggio vettore r del punto, né il tempo; cioè \(\mathcal{L}\) è una funzione soltanto della velocità \( v \). In virtù dell'isotropia dello spazio, la funzione di Lagrange non può nemmeno dipendere dalla direzione del vettore \( v \); essa è quindi funzione del suo valore assoluto, cioè del quadrato:

\[\mathcal{L} = \mathcal{L}(v^2)\]

Poiché la lagrangiana non dipende da r, le equazioni di Lagrange assumono la forma:

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{v}} \right) = 0\]

da cui \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = \text{costante}\). Essendo dato che è funzione soltanto della velocità, ne segue anche che

\[v = \text{costante}\]

In conclusione, in un sistema di riferimento inerziale, ogni moto libero avviene a velocità costante in modulo e direzione. Questa asserzione costituisce il contenuto della ben nota legge d'inerzia.

Per quanto riguarda la forma della lagrangiana, abbiamo detto che essa dipende solamente dal quadrato della velocità del punto materiale. In particolare, si dimostra che

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2} m v^2\]

nella quale la grandezza m viene detta massa del punto materiale. In virtù dell'additività della funzione di Lagrange, si ha per un sistema di punti non interagenti:

\[\mathcal{L} = \sum_a \frac{1}{2} m_a v_a^2\]

1.6 Funzione di Lagrange di un sistema di punti

Consideriamo ora un sistema di punti interagenti tra loro, ma isolati dall'esterno; un tale sistema è detto isolato. Risulta che si può descrivere l'interazione dei punti materiali del sistema aggiungendo alla funzione di Lagrange una funzione - dipendente dalle interazioni - delle coordinate. In particolare:

\[\mathcal{L} = \sum_a \frac{1}{2} m_a v_a^2 - U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots)\]

Questa è la forma generale della funzione di Lagrange di un sistema isolato:

\[\mathcal{L} = T - U\]

nella quale T si chiama energia cinetica e la funzione U energia potenziale. Il fatto che l'energia potenziale dipenda solamente dalla distribuzione di tutti i punti in un medesimo istante di tempo, significa che un cambiamento della posizione di un punto si ripercuote istantaneamente su tutti gli altri: in altre parole, l'interazione si propaga istantaneamente. Questo è inevitabile nella meccanica classica, come conseguenza del principio di relatività galileiano, tuttavia questa proprietà dell'energia potenziale non è presente nella teoria della relatività di Einstein.

Conoscendo la funzione di Lagrange, possiamo scrivere le equazioni del moto:

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{r}}_a} \right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{r}_a}\]

Sostituendo ora la lagrangiana cinetica in quest'ultima, otteniamo:

\[m_a \frac{d}{dt} \dot{\mathbf{v}}_a = -\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a}\]

Le equazioni del moto in questa forma si chiamano equazioni di Newton. Esse costituiscono la base della meccanica di un sistema di particelle interagenti. Il vettore

\[\mathbf{F}_a = -\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a}\]

è detto forza generalizzata, agente sull'a-esimo punto. Come l'energia potenziale U, questa forza dipende solamente dalle coordinate di tutte le particelle e non dalle loro velocità. Dalle equazioni di Newton risulta quindi che i vettori accelerazione delle particelle sono funzioni delle sole coordinate.

1.7 Integrali del moto

Se un sistema meccanico è animato da un moto, le coordinate e le velocità che ne determinano lo stato variano col tempo. Tuttavia, esistono funzioni di queste grandezze le quali conservano durante il moto valori costanti che dipendono solamente dalle condizioni iniziali. Tali funzioni sono dette integrali del moto.

Ciò nondimeno, non tutti gli integrali del moto hanno un ruolo di uguale importanza nella meccanica. Tra questi ce ne sono alcuni la cui invarianza ha un'origine profonda, connessa alle proprietà fondamentali dello spazio e del tempo, e cioè alla loro omogeneità e isotropia. Tutte queste grandezze, dette conservative, hanno una proprietà generale importante: esse sono additive, cioè il loro valore per un sistema composto di più elementi, la cui interazione possa essere trascurata, è uguale alla somma dei valori per ciascuno degli elementi preso separatamente.

Cominciamo dalla legge di conservazione che deriva dalla omogeneità del tempo. In virtù di questa omogeneità, la funzione lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo. Perciò, la derivata totale di quest'ultima è data da:

\[\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i \right)\]

Sostituendo secondo le equazioni di Lagrange le derivate con \(\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\), si ottiene:

\[\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \ddot{q}_i + \dot{q}_i \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \right)\]

ovvero:

\[\frac{d}{dt} \left( \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - \mathcal{L} \right) \right) = 0\]

Da queste espressioni si vede che la grandezza:

\[E = \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i \right) - \mathcal{L}\]

resta invariata nel corso del moto del sistema isolato. Questa grandezza si chiama energia del sistema. Questa legge di conservazione è valida anche per sistemi che si trovano in un campo esterno indipendente dal tempo. I sistemi meccanici la cui energia si conserva sono detti talvolta conservativi.

Un'altra legge di conservazione appare in connessione con l'omogeneità dello spazio. In virtù di questa omogeneità, le proprietà meccaniche di un sistema isolato non cambiano in una traslazione parallela qualsiasi su questo sistema nel suo insieme. Senza spendere troppe parole a riguardo, diciamo solamente che è possibile dimostrare che la quantità vettoriale:

\[\mathbf{P} = \sum_a m_a \mathbf{v}_a\]

resta invariata durante il moto. Essa è detta quantità di moto o impulso del sistema. Dalla derivazione della lagrangiana cinetica risulta che l'impulso si esprime mediante la velocità dei punti nel modo seguente:

\[\mathbf{P} = \sum_a m_a \mathbf{v}_a\]

Inoltre, l'impulso è pari alla somma degli impulsi di ciascuna particella, indipendentemente dal fatto che la loro interazione sia trascurabile o no.

Passiamo ora alla deduzione della legge di conservazione che deriva dall'isotropia dello spazio. Questa isotropia significa che le proprietà meccaniche di un sistema meccanico isolato non cambiano, qualunque sia la rotazione nello spazio di tutto il sistema in blocco. Anche in questo caso, è possibile dimostrare che la quantità vettoriale:

\[\mathbf{L} = \sum_a \mathbf{r}_a \times \mathbf{p}_a\]

si conserva nel moto di un sistema isolato. Tale grandezza è detta momento della quantità di moto (o semplicemente momento angolare) del sistema. Come nel caso dell'impulso, essa è indipendente dal fatto che si abbia o meno interazione tra le particelle. Con questo si esauriscono gli integrali del moto additivi. Quindi ogni sistema isolato ha in tutto sette integrali del moto di questo tipo: l'energia, le tre componenti del vettore impulso e le tre componenti del vettore momento angolare.

1.8 Formalismo hamiltoniano

La formulazione delle leggi della meccanica mediante la funzione di Lagrange presuppone la descrizione del moto di un sistema mediante l'assegnazione delle coordinate e delle velocità generalizzate. Questo metodo non è l'unico possibile; infatti, spesso è utile la descrizione dello stato del sistema mediante le coordinate e gli impulsi generalizzati.

Il passaggio da un insieme di variabili indipendenti ad un altro può essere fatto mediante la nota trasformazione di Legendre; nel nostro caso, essa assume la seguente forma. Il differenziale totale della lagrangiana come funzione delle coordinate e delle velocità è:

\[d\mathcal{L} = \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} \, dq_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \, d\dot{q}_i \right)\]

la quale può essere riscritta come:

\[d\mathcal{L} = \sum_i \left( p_i dq_i + \dot{p}_i \, d\dot{q}_i \right)\]

essendo le derivate rispetto alle velocità, per definizione, gli impulsi generalizzati, e le equazioni di Lagrange:

\[\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\]

Riscrivendo ora il secondo termine nella forma:

\[\sum_i p_i \, d\dot{q}_i = \frac{d}{dt} \sum_i \left( p_i \dot{q}_i - \mathcal{L} \right)\]

segue che la quantità:

\[H = \sum_i \left( p_i \dot{q}_i - \mathcal{L} \right)\]

è detta funzione hamiltoniana o energia hamiltoniana del sistema.