Fisica atomica

Il potenziale perturbativo e le soluzioni approssimate dell'equazione

Nella quale è il potenziale perturbativo, che può corrispondere ad una correzione al modello applicato in λ̂ ̂H, oppure l'interazione con un campo esterno. Il fattore λ è indice dell'intensità relativa di rispetto alW0̂H; si capisce dunque che la perturbazione sarà considerabile piccola se λ<<1. Distinguiamo inoltre due0 ̂ ̂W Wsituazioni: dipende dal tempo e è indipendente dal tempo. Nel primo caso, la teoria sarà in grado di(0)Efornirci la probabilità di transizione tra due livelli energetici, supposti inalterati dalla perturbazione; nelnsecondo caso, otterremo una nuova successione di livelli energetici stazionari.̂WCi interesseremo per ora del secondo caso, ipotizzando che non vari nel tempo -la medesima ipotesi vienêHfatta su . Si tratterà quindi di trovare le soluzioni approssimate dell'equazione0 ̂ ̂ ̂H H W Eψ =( +λ )ψ = ψl 0 l l l

comodo fin dall'inizio sviluppare la discussione in termini matriciali. A tale scopo sviluppiamo la funzione(0)cercata ψ in serie di funzioni :ψl m (0 )cψ =Σ ψl m ml m

Sostituendo questa espressione nell'equazione per ψ , otteniamol ̂(0) (0) (0)c E W c EΣ ( +λ ) ψ =Σ ψm ml m m m ml l m(0)*e moltiplicando i due membri di questa uguaglianza per il coniugato ed integrando, si trovaψ k(0 )E c W c( −E ) =Σ λl k kl m km mll

la quale non è altro che in sistema di m equazioni algebriche, equivalente all'equazione di Schrödinger iniziale.~ 50 ~ ̂W

Abbiamo qui introdotto la matrice W dell'operatore di perturbazione , definita mediante le funzionikmimperturbate: ̂∫ (0)* (0)W W dq= ψ ψkm k m

Cerchiamo allora i coefficienti c e le energie E, sotto forma di serie in potenze di λ:m 2 2(0) (1 ) (2) (1) (2)E E E ; c c c=E +λ +λ +... =δ +λ +λ

...l l l l kl kl kl kl

In questo modo ogni termine superiore della serie sarà sempre più piccolo e, in particolare, per λ→0(0)E Eosserviamo come , riottenendo le energie del caso imperturbato.→l lDeterminiamo le correzioni all'n-esimo autovalore e autofunzione. Sostituiamo allora le serie troncate al secondo ordine di E e c nel sistema precedente:

l ml 2 2 2(1) (2) (0) (1) (2) (0) (1) (2)c c E E E c c(δ +λ +λ )( +λ +λ −E )=λ Σ (δ +λ +λ )Wkl kl kl l l l k m ml ml ml kme riordinando per λ otteniamo 2(0 ) (0 ) (1) (0) (0) (1) (2) (1) (1) (0) (0) (2 )E E – E E c E(E −E )δ +λ[ δ +( )c ]+λ [ δ +E +( −E )c ]=l k kl l kl l k kl l kl l kl l k kl2 (1)W W c=λ Σ δ +λ Σm km ml m km mlPerché questi due polinomi siano uguali per qualsiasi valore di λ, devono essere uguali a due a due icoefficienti.

può produrre valori molto elevati nel caso in cui due livelli energetici siano molto vicini. Per evitare questa possibili complicazione, nella pratica l'approssimazione di grado due viene introdotta solamente nel caso in cui quella di grado uno sia nulla; fortunatamente, questo succede raramente. Vediamo inoltre che la condizione di non-divergenza del termine di secondo grado fornisce il seguente criterio di applicabilità della teoria: ²λ < -Ekl l k~ 51 ~ ̂H. I risultati ottenuti si generalizzano direttamente al caso in cui l'operatore abbia anche uno spettro energetico continuo. A tale scopo occorre solamente aggiungere alle somme sullo spettro discreto gli integrali corrispondenti allo spettro continuo.

Equazione secolare

Vediamo ora il caso in cui l'operatore imperturbato ha degli autovalori degeneri (per semplicità supponiamo un grado di degenerazione pari a due). Indichiamo con ψ e ψ le relative

1. Il determinante deve essere pari a zero; otteniamo in tal modo

2. Equazione di secondo grado nell'energia E. Le soluzioni sono

3. Osservando il discriminante di questa equazione, abbiamo due casi:

√2 2H( −H ) (H −H )1 111 22 11 22E H 1+ H∣ ∣ ∣ ∣= (H +H )± ≈ (H +H )± (1+ )1,2 11 22 12 11 22 122 22 24 H 8 H∣ ∣ ∣ ∣12 12nella quale la radice è stata espansa fino al primo ordine. In questo modo si ottiene chiaramente che lenuove energie sono EΔ(0)E =E ±1,2 1,2 2nella quale il ΔE dipende dall'intensità della perturbazione, ovvero da λ.Una volta ottenuti i due nuovi stati non degeneri, è possibile applicare la teoria ordinaria e computare lerispettive funzioni d'onda. In generale, si dice che la perturbazione "rimuove la degenerazione"; questarimozione può essere completa oppure parziale, caso nel cui comunque la degenerazione risulta ridotta unavolta applicata la perturbazione.Nel caso generico in cui la degenerazione è di ordine f, si scrive una combinazione lineare tra le f autofunzionicorrispondenti all'autovalore degenere, in modo

del tutto analogo a quanto visto per il caso semplice di f=2. Seguendo poi i medesimi passaggi, si ottiene un sistema di f equazioni lineari, che, in forma compatta, risultaf – E AΣ (H δ ) =0k ik ik k=1Imponendo che il determinante sia nullo, si ottiene l'equazione di grado fdet (H −E δ )=0ik ikche viene detta equazione secolare. Questa equazione in E ha, in generale, f radici distinte, per tale motivo sidice che la perturbazione rimuove la degenerazione.~ 52 ~.Correzioni all'atomo idrogenoide: la correzione relativisticaVedremo ora e nella prossima sezione le correzioni che vengono introdotte all'atomo idrogenoide, per tenerconto delle componenti di struttura fine e iperfine dello spettro energetico. In particolare, introduciamo lecorrezioni relativistiche, dovute al fatto che l'elettrone orbitante intorno al nucleo può raggiungere velocitàprossime a quelle della luce, nel momento in cui passa vicino al nucleo st