Fisica 1 - Esercizio 8

Calcolo della compressione minima e massima di un piattello

Descrizione del problema

Un corpo puntiforme di massa è attaccato a un piattello connesso a una molla di costante elastica. Il piattello viene compresso di una quantità, e una volta rilasciato, il corpo viene messo in movimento. L'analisi si effettua su un tratto piano privo di attrito, per poi percorrere una guida, anch'essa liscia, formata da due tratti lineari con dislivello, raccordati da un arco di circonferenza di apertura. Si richiede di calcolare la minima e la massima compressione del piattello in corrispondenza delle quali il corpo riesca rispettivamente a raggiungere la sommità e a mantenersi sempre in contatto con la guida.

Calcolo della compressione minima

Per determinare la minima compressione del piattello che consente al corpo puntiforme di superare la sommità, è sufficiente applicare la conservazione dell'energia meccanica tra lo stato [A] e lo stato [C]: \( T_A + V_A = T_C + V_C \).

Poiché il corpo parte da fermo, si ha che \( T_A = 0 \). Scindendo inoltre l'energia potenziale nella somma del contributo gravitazionale e di quello elastico, si ha che:

\( V_A = T_C + V_C - V_{el_{C}} - V_{grav_C} \).

Si osservi che in corrispondenza della sommità il corpo non è attaccato alla molla ed è pertanto assente il contributo dell'energia elastica.

Esplicitando il bilancio in funzione dei parametri noti:

\( \frac{1}{2} k(\Delta L)^2 = \frac{1}{2} mv_C^2 + mg[h + R(1 - \cos a)] \).

La compressione minima del piattello è quella per cui l'energia elastica è sufficiente a vincere il dislivello \( R \):

\( \Delta L \ge \sqrt{\frac{2mg[h + R(1 - \cos a)]}{k}} = \Delta L_{MIN} \).

Se la compressione del piattello è pari a \( \Delta L_{MIN} \), il corpo si ferma esattamente in corrispondenza della sommità della guida; in tal caso, infatti \( v_C = 0 \).

Calcolo della compressione massima

Per determinare invece la compressione massima che è possibile imprimere al piattello, occorre individuare il punto critico della guida, quello in cui per primo non sono più verificate le condizioni di contatto.

Durante la percorrenza della guida, sul punto agiscono infatti tre forze: la forza centrifuga, la reazione vincolare offerta dalla guida, anch'essa centrifuga nel caso di assenza di attriti, e la forza peso. Il punto più critico è rappresentato dall'ingaggio del punto materiale con la guida.