Fisica 1 - Esercizio 8

Esercizio 8.

Un corpo puntiforme di massa è attaccato ad un piattello connesso ad una molla di costante elastica pari

a Il piattello viene compresso di una quantità una volta rilasciato, il corpo viene messo in movimento

. ∆:

su di un tratto piano privo di attrito, per poi percorrere una guida, anch’essa liscia, formata da due tratti

lineari con dislivello pari ad raccordati da un arco di circonferenza di apertura pari ad Calcolare la

ℎ, .

minima e la massima compressione del piattello in corrispondenza delle quali il corpo riesca rispettivamente

a raggiungere la sommità e a mantenersi sempre in contatto con la guida.

� ̅

�

ℎ

Per determinare la minima compressione del piattello che consente al corpo puntiforme di superare la sommità,

è sufficiente applicare la conservazione dell’energia meccanica tra lo stato [A] e lo stato [C]:

T + V = T + V

A A C C

Poiché il corpo parte da fermo si ha che Scindendo inoltre l’energia potenziale nella somma del

T = 0.

A

contributo gravitazione e di quello elastico, si ha che:

+ V = T + V → V = T + �V − V �

V

A A C C A B B A

grav el el grav grav

grav

Si osservi che in corrispondenza della sommità il corpo non è attaccato alla molla ed è pertanto assente il

contributo dell’energia elastica.

Esplicitando il bilancio in funzione dei parametri noti:

1 1 2

2

= T + �V − V � → k(∆L) = mv + mg[h + R(1 − cos a)]

V

A C B A C

el grav grav 2 2

La compressione minima del piattello è quella per cui l’energia elastica è sufficiente a vincere il dislivello R:

1 2mg[h + R(1 − cos a)] 2mg[h + R(1 − cos a)]

� �

2

k(∆L) ≥ mg[h + R(1 − cos a)] → ∆L ≥ → ∆L =

MIN

2 k k

Se la compressione del piattello è pari a il corpo si ferma esattamente in corrispondenza della sommità

∆L MIN

della guida: in tal caso, infatti v = 0.

C

Per determinare invece la compressione massima che è possibile imprimere al piattello occorre individuare il

punto critico della guida, quello in cui per primo non sono più verificate le condizioni di contatto. Durante la

percorrenza della guida sul punto agiscono infatti tre forze: la forza centrifuga, la reazione vincolare offerta dalla

guida, anch’essa centrifuga nel caso di assenza di attriti, e la forza peso. Il punto più critico è rappresentato

dall’ingaggio del punto materiale con la guida a forma di arco di circonferenza: nello stato [B] è infatti massima

la forza centrifuga dovuta alla velocità e minima la componente radiale della forza peso. In altri termini, lo stato

[B] è quello per cui la reazione vincolare è più facile che si annulli.

N