Fisica 1 - Esercizio 4

Equazioni della statica per una sfera su un piano inclinato

Applicando la seconda equazione cardinale della statica in corrispondenza del punto di contatto tra sfera e piano inclinato:

N R + F R cos α = mgR sin α

N = mg sin α - F cos α

F = mg sin α - cos αN

m + M = m · g sin α - cos αN

La condizione di non distacco impone che N ≥ 0:

SF cos α ≥ 0

m · g sin α - m + M · F cos α ≥ 0

g sin α ≥ m + M ≤ g(m + M) tan α

Il valore massimo assumibile è pertanto:

F = g(m + M) tan α_max

L'accelerazione massima a cui può essere sottoposto il sistema formato tra i due corpi, in assenza di moto relativo tra essi, vale:

F max · ẍ = g tan α_max · (m + M)

Se la forza inerziale è tale da far distaccare la sfera dalla sponda, la quale avrà un moto relativo rispetto al piano inclinato: ipotizzando che sia verificata tale condizione ovviamente si ha che in quanto la sfera N = 0

Snon è più a

contatto con la sponda del piano inclinato. Si indichi con l'angolo che descrive la rotazione della sfera attorno al suo centro e con l'accelerazione delθ a Ppiano inclinato e con l'accelerazione della sfera osservata nel riferimento solidale. Si applichino le equazioni seguenti:

1. I equazione cardinale per la sfera di massa in direzione m u� t
2. I equazione cardinale per la sfera di massa in direzione ortogonale al piano inclinato m u� n
3. I equazione cardinale per il piano inclinato di massa in direzione M u� x
4. II equazione cardinale per sfera di massa in corrispondenza del suo centro m
5. Condizione di rotolamento puro

Esplicitando le equazioni:

1. ma cos α − mg sin α − F = maP A S
2. ma cos α − mg sin α − F = ma⎧ P A S
3. N − mg cos α − ma sin α = 0 ⎧P P⎪
4. N − mg cos α − ma sin α = 0⎪ ⎪ P P
5. F − N sin α

• − F cos α = Ma
• P A P 3) F − N sin α − F cos α = Ma→ P A P2
• θ̈2 2R = mR4) F ⎪A⎪ 5 = ma4) + 5) F⎪ ⎩ A S5Rθ̈=5) a⎩ S
• Quello ottenuto è un sistema di quattro equazioni nelle incognite , , e .a a F NS P A PSostituendo nelle equazioni 1), 2) e 3) si ottiene:F A 7 1 7ma cos α − mg sin α = ma a = � a + g sin α�⎧1)⎧1) P S P S5 cos α 5⎪⎪ − mg cos α − ma sin α = 02) N = mg cos α + ma sin α2) N→P P P P⎨ ⎨2 2⎪ ⎪sin α − ma cos α = Ma3) F − N sin α − ma cos α = Ma3) F − N⎩ ⎩P S P P S P5 5