Fisica 1 - Esercizio 12

Esercizio 12

Su di un punto materiale di massa agisce una forza, essendo la velocità posseduta = � − ̅ × � ̅ i versori della terna di riferimento. Supponendo che il punto si trovi inizialmente fermo e; �, � ��� nell’origine, trovare le leggi orarie del moto lungo i tre assi. Si applichi il secondo principio della dinamica, osservando che: v� = ẋ u� + ẏ u� + ż u�x y z�ma� = F.

Esplicitando l’equazione vettoriale nel riferimento �u�, u�, u�: x y z a a au� u� u�ẍ ẋ ẍ ẍ ẏ0 x y z0 0 0�m � = � − � × b � → m � = � − b det � → m � = � − b �� � � � ��� � �ÿ ẏ ÿ ÿ0 ẋẋ ẏ ż0 0 01z̈ ż z̈ z̈ 00 0 1.

Pertanto:

• mẍ = a − bẏ
• mÿ = bẋ
• mz̈ = 0

Le condizioni iniziali sono date da: (0) (0) (0)x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0, ẋ = 0, ẏ = 0, ż = 0.

Integrando nel tempo la seconda equazione:

(0)] (b / )xm[ẏ − ẏ = b[x − x(0)] → mẏ = bx → ẏ = m.

Sostituendo nella prima equazione:

2 2b b b a2 2mẍ = a − x → mẍ + x = a → m ẍ + b x = ma → ẍ + � � x =m m m m.

Raccogliendo in maniera opportuna:

2 2b am bẍ + � � �x − � = 0 → ẍ + � � �x − x � = 0eq2m b m.

Si effettui il cambio di variabile:

s = x − x, ṡ = ẋ, s̈ = ẍeq.

Le condizioni iniziali possono allora scriversi come:

• x(0) = 0 → s(0) = −x eq(0)
• ẋ = 0 → ṡ = 0

Si identifichi inoltre con la pulsazione.

⁄ω = b m.

L’equazione differenziale assume la forma:

2s̈ + ω s = 0.

La soluzione generale e la sua derivata temporale divengono:

s = A cos(ωt) + B sin(ωt), ṡ = −Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt).

Sfruttando le condizioni iniziali si ottiene:

A = −x, B=0eq.

Sostituendo e operando nuovamente il cambio di variabile:

am bs = −x cos(ωt) → x − x = −x cos(ωt) → x = �1 − cos � t��eq eq eq 2b m.