Fisica 1 - Esercizio 5

Esercizio 5.

Una sfera omogenea di massa e raggio rotola senza strisciare con velocità di avanzamento su di un

piano orizzontale. Ad un certo istante urta uno scalino di altezza L’urto è tale che il punto di contatto

ℎ < .

non slitta e non si stacca mentre la sfera si solleva dal suolo. Determinare la minima velocità che

consente alla sfera di salire il gradino. ̅

�

̅

�

ℎ

Durante l’urto con lo scalino, di natura anelastica, si conserva il momento angolare rispetto al punto di contatto,

istantaneamente fermo. La forza di gravità, non essendo impulsiva, esercita un momento rispetto al suddetto

polo di entità trascurabile: si ricordi infatti che un urto avviene in un tempo infinitesimo e, in tale intervallo

dt

temporale, la gravitazione produce un effetto del tutto trascurabile.

�

Si applichi il teorema di König per valutare il momento angolare prima e dopo l’urto:

K O

� � �

(G

K = K + − O) × P

O G

Per un corpo rigido, ricorrendo al tensore di inerzia valutato in un riferimento centrato nel centro di massa

G,

G

il teorema di König assume la forma:

� �

(G

K = ω

� + − O) × P

O G

Poiché è uscente dal piano in cui sta avvenendo il moto, l’espressione di semplifica ulteriormente introducendo

ω

�

il momento di inerzia valutato rispetto ad un asse passante per il centro di massa e ortogonale al suddetto

I G

G

piano.

� �

(G

K = −I ωu

� + − O) × P

O G z

Prima dell’urto la velocità è ancora parallela al piano, pertanto:

2 2 7

� 2 (R (R

K = − mR ω u

� − Mv − h)u

� = − mRv u

� − mv − h)u

� = − � R − h� mv u

�

O i z G z G z G z G z

i i i i i

5 5 5

Dopo l’urto, essendo il centro di istantanea rotazione, la velocità cambia repentinamente e diviene ortogonale

O

alla congiungente pertanto:

(G − O),

2 2 7

� 2

K = − mR ω u

� − mv Ru

� = − mRv u

� − mv Ru

� = − mRv u

�

O f z G z G z G z G z

f f f f f

5 5 5

Poiché il momento angolare è conservato:

� �

K = K

O O

i f

7 7

� R − h� v = Rv

G G

i f

5 5

Risolvendo per :

v G f

5h

v = �1 − � v

G G

f i

7R