Fisica 1 - Esercizio 11

Formattazione del testo

Rθ̇L'energia cinetica, osservando che, può scriversi come segue:

ẏ = 1 1 1 3θ̇ θ̇2 2 2 2 2T = I = � MR + MR � = MẏC2 2 2 4

L'energia meccanica del sistema vale allora:

E = Mẏ + k(R + y − Mgy4 2

Per determinare l'andamento temporale di occorre applicare la conservazione dell'energia meccanica:

⁄dE dt = 0.3 3Mÿ ẏ + kyẏ − Mgẏ = 0 → Mÿ + ky = Mg2 2

Manipolando l'equazione di moto:

2k 2 2k Mg 2kÿ + y = g → ÿ + �y − � = 0 → ÿ + �y − y � = 0eq3M 3 3M k 3M

La pulsazione di oscillazione e il corrispondente periodo valgono rispettivamente:

ω = 2k 3M� 2π, T = 3M 2k

Si effettui inoltre il cambio di variabile: z = y − y , ż = ẏ , z̈ = ÿeq

Le condizioni iniziali possono allora scriversi come:

y(0) = 0 → z(0) = −y eq(0) (0)ẏ = 0 → ż = 0

L'equazione di moto assume la forma:

2z̈ + ω z = 0

La soluzione

Il generale e la sua derivata temporale divengono:
z = A cos(ωt) + B sin(ωt) ,
ż = −Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt)

Sfruttando le condizioni iniziali si ottiene:
A = −y , B=0

Sostituendo e operando nuovamente il cambio di variabile:
[1z = −y cos(ωt) → y − y = −y cos(ωt) → y = y − cos(ωt)]

Ricorrendo inoltre all’espressione di precedentemente ricavata:
y eqMg 2k

La sua espressione in funzione di può allora scriversi come:
ÿ y2kÿ = − y3M

Applicando la seconda equazione cardinale in corrispondenza del centro del disco, si ottiene:
1 1 kθ̈ θ̈2I = F R → MR = F R → Mÿ = F → F = − yC att att att att2 2 3

Effettuando l’equilibrio in direzione ortogonale a quella del moto:
N = kR

Sfruttando il modello d’attrito statico Coulombiano:
y y| |N||F ≤ μ → μ ≥ → μ =att s s