Fisica 1 - Esercizio 10

Esercizio 10.

Al bordo di un disco omogeneo di centro raggio e massa è saldato un punto materiale di massa

, .

Il disco poggia su di un piano orizzontale. Al centro del disco è attaccata, mediante un perno, una molla ideale

di costante elastica Nell’ipotesi in cui il disco rotoli senza strisciare e ammettendo che esso parta da fermo

.

nella configurazione in cui la molla è a riposo e la congiungente forma un angolo con la

( ⁄

− ) = 6

direzione verticale, determinare:

i. L’equazione di moto del sistema;

ii. L’accelerazione angolare iniziale del disco;

iii. Il coefficiente d’attrito minimo che garantisce inizialmente il rotolamento puro;

iv. La velocità del centro del disco quando e il minimo valore del rapporto affinché possa

⁄

≡

esser raggiunta tale configurazione.

� ̅

�

Si scriva in funzione dell’angolo l’energia meccanica del sistema:

θ

1 π 2

2

V(θ) = kR �θ − � + mgR(1 + cos θ)

2 6

1 1 1 1 1

θ̇� θ̇ θ̇ θ̇

���� ����

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

T�θ; = I = � MR + MGC + mPC � = � MR + MR + m(R +R + 2R cos θ)�

C

2 2 2 2 2

1 3

θ̇� θ̇

2 2

T�θ; = � M + 2m(1 + cos θ)� R

2 2

Si ponga il cambio di variabile:

π π

α = θ− → θ = α +

6 6

Derivando nel tempo:

θ̇ = α̇ 1 π 1 1

√3

2 2 2 2

V(α) = kR α + mgR �1 + cos �α + �� = kR α + mgR �1 + cos α − sin α�

2 6 2 2 2

1 3 1

√3 2 2

)

T(α; α̇ = � M + 2m �1 + cos α − sin α�� R α̇

2 2 2 2

L’energia meccanica del sistema si scrive quindi come:

)

E(α; α̇

1 1 1 3 1

√3 √3

2 2 2 2

)

E(α; α̇ = kR α + mgR �1 + cos α − sin α� + � M + 2m �1 + cos α − sin α�� R α̇

2 2 2 2 2 2 2