Etivities analisi 2 del 2021, prof Marchisio

2) Domanda

La funzione f(x,y) = xy + x² - 12π vincolata al segmento y = x, x ∈ [a,b]

• a) Ammette massimi e minimi assoluti per ogni coppia a e b
• b) Ammette massimi e minimi relativi ma non assoluti per ogni coppia a e b
• c) Ammette minimo relativo e assoluto per ogni coppia a e b
• d) Ammette massimo relativo e assoluto per ogni coppia a e b

• a
• b
• c
• d

f(x,y) = xy + x² - 12π   y = x   x ∈ [a,b]

f(x,x) = x(x) + x² - 12π = 2x² - 12π

è una parabola ( ∩ ) per il teorema di Weierstrass ammette max e min assoluti ∀ a,b ‹›R in [a,b]

2) Domanda

La funzione f(x, y) = xy + x² − 12π vincolata al segmento y = x, x ∈ [a, b]

a) Ammette massimi e minimi assoluti per ogni coppia a e b

b) Ammette massimi e minimi relativi ma non assoluti per ogni coppia a e b

c) Ammette minimo relativo e assoluto per ogni coppia a e b

d) Ammette massimo relativo e assoluto per ogni coppia a e b

• a ☐
• b ☐
• c ☐
• d ☐

f(x,y) = xy + x² − 12π

y = x x ∈ [a, b]

f(x,x) = x(x) + x² − 12π = 2x² − 12π

È una parabola (∀) per il teorema di Weierstrass ammette max e min assoluti ∀ a, b ∈ R in [a, b]

1) Domanda

Sia f(x, y) ∈ C²(R²) una funzione che ammette massimi e minimi locali. Allora la sua matrice Hessiana

• a) Ha il primo elemento sempre nullo
• b) Ha determinante positivo in ogni punto del suo dominio
• c) Ha determinante negativo in ogni punto del suo dominio
• d) Nessuna delle precedenti

Questo succede per le funzioni costanti

Nessuna delle precedenti perché H(x,y) si riferisce ad estremi RELATIVI.

2) Domanda

Il complementare del dominio della funzione f(x, y) = x²y + ln(x - y) e^y2-x è

• a) Una retta
• b) Un solo punto
• c) Non limitato e aperto
• d) Limitato e non connesso per poligonali

D = {}(x, y) ∈ R² : y < x ^ y ≥ x

D = {∅} ⇒ D = R²

non insieme non limitato

e aperto

Domanda

Il dominio della funzione f(x, y) = √⁴⁢^-x⁢2 / y² - 16 è

• a) Aperto e non connesso per poligonali
• b) Chiuso e limitato
• c) Illimitato e non connesso per poligonali
• d) Né aperto né chiuso e limitato

a

b

c

d

D = { (x, y) ∈ ℝ² : y ≤ x² ∧ y ≠ ±4 }

2) Domanda

La serie ∑ _n=2^∞ (x - 25)ⁿ converge

• a) In un intervallo aperto
• b) In un intervallo semiaperto
• c) In un intervallo chiuso
• d) In tutta la retta reale

X₀ = 25

a_n = ^{n3 + 1} / _{n⁶ - 2}

a_n+1 = ^{(n+1)3 + 1} / _{(n+1)⁶ + 1}

S^-1 = lim_n→∞ a_n+1 / a_n = lim_n→∞ [^{(n+1)3 + 1} / _{(n+1)⁶ + 1}] [^{n6 - 2} / _{n³ + 1}] = 1

(=) La serie converge per 25 - 1 ≤ x ≤ 25 + 1

24 ≤ x ≤ 26

1) Domanda

Quale delle seguenti affermazioni sulla serie Σa_nxⁿ è falsa?

• a) Converge sempre almeno in un punto
• b) Il raggio di convergenza è sempre maggiore di 1
• c) Se a_n = 1/n, allora il raggio di convergenza è 1
• d) Converge sempre in un intervallo

-1 R^-1 = lim_n→∞ (a_n+1 / a_n)

X_o = 0

2) Domanda

Quale delle seguenti affermazioni sull’equazione differenziale y′ = yt è falsa

• a) È lineare
• b) È a variabili separabili
• c) Ammette soluzioni stazionarie
• d) Ammette come soluzione un polinomio di primo grado

• ☐ a
• ☐ b
• ☒ c
• ☐ d

^y′/_y = t

⇒ ln y = t²/2

⇒ y = e^t2/2

(s) la D è sbagliata

1) Domanda

L'equazione differenziale y^'' = 0 ammette come soluzione

• a) Tutte le funzioni del tipo cos(at) + sin(at), a ∈ R
• b) Tutti gli esponenziali del tipo e^at, a ∈ R
• c) Tutti i polinomi di secondo grado
• d) Tutti i polinomi di qualsiasi grado

□ a

□ b

□ c

□ d

Un polinomio di 5^o ordine non si annulla derivandolo 4 volte.

2) Domanda

Quale dei seguenti campi vettoriali è irrotazionale?

• a) \( \hat{F}(x, y) = (xy, xy) \)
• b) \( \hat{F}(x, y) = (e^x, \cos(xy)) \)
• c) \( \hat{F}(x, y) = (2xe^y, x^2e^y) \)
• d) \( \hat{F}(x, y) = (ye^x, xe^x) \)

Indietro Invia le risposte

\(\frac{\partial V_2}{\partial x} = \frac{\partial V_1}{\partial y}\)

\(\frac{\partial (2xe^y)}{\partial y} = 2xe^y\)

\(\frac{\partial (x^2e^y)}{\partial x} = 2xe^y \Rightarrow \)

1) Domanda

La curva φ(t) = (cos t, t²) è

• Regolare a tratti e non semplice sugli insiemi del tipo I = [-a..a], a ∈ R⁺
• Regolare e chiusa sugli insiemi del tipo I = [0, a], a ∈ R⁺
• Regolare a tratti e chiusa sugli insiemi del tipo I = [-a..b], a, b ∈ R⁺
• Regolare e semplice sugli insiemi del tipo I = [-a..a], a ∈ R⁺

a

b

c

d

ψ̇(t)= (-sen t, 2t)

t=∈ [-a, a]

NON SEMPLICE

2) Domanda

La funzione Lagrangiana della funzione f(x,y) = x² - y² vincolata al vincolo di equazione y² = x² è

• a) L(x,y,λ) = (1 + λ) · (x² - y²)

• b) L(x,y,λ) = x² - y² - λy² - λx²

• c) L(x,y,λ) = x² - y² + λy² + λx²

• d) L(x,y,λ) = (1 - λ) · (x² + y²)

• a

• b

• c

• d

L(x,y,λ) = x² - y² - λ (y² - x²) = (1 + λ)(x² - y²)

Domanda

Sia f(x,y) una funzione che ammette massimo assoluto in un punto (x₀,y₀). Allora

1. La matrice Hessiana ha determinante positivo in (x₀,y₀)
2. La matrice Hessiana ha determinante negativo in (x₀,y₀)
3. La matrice Hessiana ha determinante nullo in (x₀,y₀)
4. Nessuna delle precedenti

• a
• b
• c
• d

H(x₀,y₀) riguarda gli ESTREMI RELATIVI di g(x,y)

Domanda

La funzione f(x, y) = 1 - x⁶y⁶ è

• a) Limitata inferiormente
• b) Limitata superiormente
• c) Limitata sia inferiormente che superiormente
• d) Nessuna delle precedenti

3D plot:

Contour plot: