Esericitazioni di Costruzioni Navali 2

G, A.N.

proprio A.N.

1 732333,333 10978,566 6,2675E+12

2 98718750000,000 8728,566 4,5557E+12

3 732333,333 6478,566 2,1825E+12

4 98718750000,000 8728,566 4,5557E+12

5 647214625000,000 2153,566 1,1286E+12

6 914666,667 -2171,434 2,6405E+11

7 647214625000,000 2153,566 1,1286E+12

8 44921250000,000 -3821,434 7,6779E+11

9 1365333,333 -5471,434 1,9159E+12

10 44921250000,000 -3821,434 7,6779E+11

11 1143333,333 -2171,434 3,3006E+11

12 29947500000,000 -3821,434 5,1186E+11

13 1706666,667 -5471,434 2,3949E+12

14 1143333,333 -2171,434 3,3006E+11

15 29947500000,000 -3821,434 5,1186E+11

16 1706666,667 -5471,434 2,3949E+12

17 182933,333 -2171,434 5,281E+10

18 273066,667 -5471,434 3,8319E+11

Tabella 1.2 Elementi geometrici necessari per il calcolo di ..,

Una volta calcolata la somma dei , la stessa viene moltiplicata per 2 tenendo così conto

.. =

della parte simmetrica della sezione trasversale e ottenendo come risultato finale ..,

13 4

6.089 ∙ 10 .

1.3. Flusso delle tensioni di taglio nella sezione aperta

La sezione trasversale viene sconnessa in modo opportuno da ottenere una sezione aperta. Si

procede con il calcolo dei flussi delle tensioni di taglio per ogni elemento in corrispondenza

,

del punto iniziale medio e quello finale con la seguente espressione:

′

∙

∗

= , (1.8)

..,

′

dove è il momento statico di superficie rispetto all’asse neutro della sezione considerata in

.

funzione dell’ascissa curvilinea 4

Le ascisse curvilinee vengono definite in modo tale da convergere in un punto arbitrario

appartenente alla sezione. Nella figura 1.3 è rappresentata la sezione trasversale sconnessa e

.

le ascisse curvilinee che convergono nel punto

Figura 1.3 Ascisse curvilinee convergenti nel punto

∗

,

Per calcolare in corrispondenza dei punti e bisogna calcolare i relativi momenti statici

di superficie impiegando le seguenti espressioni: ̅

′ (

= 0) = ; (1.9)

̅

′

( = ) = + ∙ ; (1.10)

,..

2 ̅

′ (

= ) = + ∙ , (1.11)

,..

̅

dove è il momento statico di superficie rispetto all’asse neutro degli elementi che

convergono nel punto dell’elemento considerato, mentre e sono,

,..

rispettivamente, l’area e la distanza del baricentro dall’asse neutro di metà sezione

dell’elemento considerato. 5

∗

Il fatto che sia positivo significa che il verso del flusso delle tensioni di taglio è concorde con

l’ascissa curvilinea, altrimenti è discorde.

∗

I valori di in corrispondenza dei tre punti saranno utilizzati in seguito per costruire il

diagramma di per ciascun elemento. ′ ∗

Nella tabella 1.3 sono riportati i valori di e relativi ai tre punti.

3 3 3

Elemento q* [N/mm] q* [N/mm] q* [N/mm]

S' [mm ] S' [mm ] S' [mm ] A C B

A C B

1 0,000E+00 2,854E+08 5,709E+08 0,000 4,688 9,376

2 5,709E+08 8,591E+08 1,082E+09 9,376 14,110 17,762

3 0,000E+00 1,684E+08 3,369E+08 0,000 2,766 5,533

4 0,000E+00 2,882E+08 5,106E+08 0,000 4,734 8,386

5 1,418E+09 1,642E+09 1,642E+09 23,295 26,974 26,966

6 0,000E+00 -6,080E+07 -1,216E+08 0,000 -0,999 -1,997

7 5,106E+08 7,346E+08 7,342E+08 8,386 12,065 12,058

8 1,520E+09 1,446E+09 1,331E+09 24,969 23,751 21,863

9 5,450E+08 3,699E+08 1,948E+08 8,951 6,075 3,200

10 7,342E+08 6,600E+08 5,450E+08 12,058 10,840 8,951

11 0,000E+00 -6,080E+07 -1,216E+08 0,000 -0,999 -1,997

12 -1,216E+08 -1,710E+08 -2,477E+08 -1,997 -2,809 -4,068

13 1,526E+09 1,307E+09 1,088E+09 25,062 21,468 17,874

14 0,000E+00 -7,600E+07 -1,520E+08 0,000 -1,248 -2,496

15 -1,763E+08 -2,258E+08 -3,024E+08 -2,896 -3,708 -4,967

16 8,406E+08 6,217E+08 4,029E+08 13,805 10,211 6,616

17 0,000E+00 -1,216E+07 -2,432E+07 0,000 -0,200 -0,399

18 1,004E+08 6,542E+07 3,040E+07 1,649 1,074 0,499

′ ∗

,

Tabella 1.3 Valori di e corrispondenti ai punti e

1.4. Flusso delle tensioni di taglio correttivo

Per stabilire il flusso delle tensioni di taglio effettivo nella sezione pluriconnessa è necessario

∗

superposizionare a un flusso correttivo , che si ricava per ogni cella imponendo la condizione

di congruenza secondo cui lo slip in corrispondenza delle sconnessioni deve essere nullo:

1

∗

∙ = ∙ ( + + + + + ) ∙ = 0, (1.12)

∮ ∮

1 2 3 4 5

∙

e in cui gli integrali circuitali vanno svolti in senso orario. Imponendo che i flussi correttivi siano

= .,

costanti e l’equazione (1.12) può essere riscritta nel seguente modo:

∗

∙ + ⋯ + ∙ = − ∙ , (1.13)

∮ ∮ ∮

1 5

6

dove l’integrale circuitale risulta nullo se il flusso correttivo non interagisce con la relativa

cella. Dal momento che le celle hanno forma rettangolare, gli integrali circuitali possono

essere rappresentati come la somma di quelli lineari:

= + + + , (1.14)

∮ ∫ ∫ ∫ ∫

0 0 0 0

che a sua volta si può riscrivere come:

= + + + , (1.15)

∮

= , ,

dove il termine viene chiamato snellezza di elemento e e sono gli elementi

appartenenti all’-esima cella.

È importante verificare che le ascisse curvilinee impiegate per il calcolo degli integrali circuitali

in generale non coincidano con quelle usate nel calcolo dei momenti statici di superficie.

Imponendo le condizioni di congruenza per ogni sconnessione si ottiene un sistema di cinque

equazioni lineari, rappresentabile in forma matriciale:

⃑⃑⃑⃑

∗

[] ∙ ⃑⃑⃑

= . (1.16)

[]

La matrice dei coefficienti del sistema avrà sulla diagonale le somme delle snellezze degli

elementi appartenenti alla stessa cella e fuori diagonale o le snellezze degli elementi in

comune alle due celle adiacenti oppure zeri. Inoltre, il verso di viene scelto in modo tale da

coincidere con quello dell’integrazione circuitale della cella a cui appartiene. In seguito è

[]:

riportata la matrice

+ + + − 0 0 0

1 2 3 4 3

− + + + − 0 0

3 3 5 6 7 6

0 − + + + − 0 , (1.17)

6 6 8 9 10 8

0 0 − + + + −

8 8 11 12 13 12

0 0 0 − + + +

[ ]

12 12 14 15 16

cioè 1307.692 −307.692 0 0 0

−307.692 2035.073 −285.714 0 0 . (1.18)

0 −285.714 975.714 −220 0

0 0 −220 1219.643 −330

[ 1329.643]

0 0 0 −330

7 ⃑⃑⃑⃑

∗

Gli elementi della matrice colonna dei termini noti si calcolano come segue:

∗ ∗ ∗

− ∙ = − ( ∙ ∙ + ⋯ + ∙ ∙ ), (1.19)

∮ ∫ ∫

0 0

dove

∗ ′

∙ ∙ =∙ ∙ ∙ . (1.20)

∫ ∫

0 0

∙

.., ′

Per gli elementi orizzontali in cui l’andamento di è lineare e per quelli verticali in cui

′ ′

∙

l’andamento di è parabolico, l’integrale viene calcolato, rispettivamente, con le

∫

0

seguenti espressioni: ′ ′

′ ( );

∙ = ∙ + (1.21)

∫

0 2

′

′ ′

′ ( ).

∙ = ∙ + 4 ∙ + (1.22)

∫

0 6 ′

−1

Il fattore è uguale a se l’ascissa curvilinea stabilita per il calcolo di è discorde con il

1.

verso dell’integrazione, altrimenti è uguale a

∗

Nella tabella 1.4 sono riportati i valori di per varie celle.

Q* [N/mm] Q* [N/mm] Q* [N/mm] Q* [N/mm] Q* [N/mm]

1 2 3 4 5

-3836,790 -11883,333 -1036,453 13217,683 3933,258

∗

Tabella 1.4 Valori di ⃑⃑⃑

Si procede con il calcolo della matrice colonna dei flussi correttivi moltiplicando l’equazione

−1

[]

(1.16) con la matrice dei coefficienti di sistema inversa ottenedo il seguente sistema di

equazioni: ⃑⃑⃑⃑

−1 ∗

[]

⃑⃑⃑ = ∙ , (1.23)

dal quale si ricavano i valori dei flussi correttivi, riportati nella tabella 1.5.

q [N/mm] q [N/mm] q [N/mm] q [N/mm] q [N/mm]

c1 c2 c3 c4 c5

-4,473 -6,540 -0,172 12,442 6,046

Tabella 1.5 Valori di

8

Il valore negativo di significa che il flusso correttivo ha verso opposto rispetto a quello

stabilito per l’integrazione circuitale.

1.5. Tensioni di taglio effettivo

Tensioni di taglio effettivo vengono calcolate per ogni elemento in corrispondenza dei punti

, .

e Se l’elemento appartiene solo all’i-esima cella, si calcola come segue:

1 ∗

= ∙ ( + ∙ ); (1.24)

1 ∗

= ∙ ( + ∙ ); (1.25)

1 ∗

= ∙ ( + ∙ ), (1.26)

= 1

dove se il verso dell’integrazione circuitale coincide con il verso dell’ascissa curvilinea

′

= −1.

definita per il calcolo di , altrimenti Nel caso in cui un elemento ap