Esercizio 11 Costruzioni Idrauliche

ESERCITAZIONE 11

METODO NODALE

Data la figura e i seguenti dati, verificare la rete di distribuzione.

K(m^1/

tratto L(m) D(m) 3/s) 90 H Q

AB 850 0,311 H (m) 23,5 37,39 0,056

E

BC 250 0,209 36,57 0,112

CD 250 0,209 35,05 0,169

AE 480 0,311 32,81 0,226

DE 900 0,26 28,87 0,283

AC 800 0,155 24,99 0,339

m = 2

α = 0,5

Si suppone che nel nodo B ci sia un impianto di sollevamento; è fornita la curva caratteristica della

pompa:

CURVA CARATTERISTICA POMPA

40

35

30 CURVA

25 CARATTERISTICA

POMPA

20

15

10

5

0

0.06 0.11 0.17 0.23 0.28 0.34

Risoluzione:

1. Consideriamo l’equazione di continuità:

∑ ( )

± qi ± Qi=0

Dove qi sono le portate circolanti nei tratti , Qi sono le portate nei nodi.

Si considera la condotta in modo unidimensionale:

H – H = h = J L

J i ij ij ij

m m

β qij β qij

J = H – H = L

Ma ij J i ij

n n

D D

β Lij ijm

r r q

= H – H =

Ponendo ij ij

J i

n

D 1

m

h 1

1

ij

q = x= y =

Quindi con e

ij ij α

m

1 rij

m

r ij α

q = y ( H – Hi )

Allora otteniamo la seguente relazione : ij ij j

Si possono verificare due casi :

a. CASO A : H > H allora la portata q è in ingresso nel nodo i

J i ij

Il FLUSSO CORRETTIVO nel nodo i sarà pari a : α

q = y [ Hj – (H + ΔH) ]

ij ij i

Utilizzando lo sviluppo di Taylor:

α α-1

q = y ( H – Hi ) – ΔH [ α y ( H – Hi ) ] , per semplificare scriviamo:

ij ij j ij j

q = A – CΔH

ij

b. CASO B : H < H allora la portata q è in uscita dal nodo i

J i ij

Il FLUSSO CORRETTIVO nel nodo i sarà pari a : α

q = y [ (H + ΔH) - H ]

ij ij i J

Utilizzando lo sviluppo di Taylor:

α α-1

q = - y ( H – Hj ) – ΔH [ α y ( H – Hj ) ], per semplificare scriviamo:

ij ij i ij i

q = A – CΔH

ij

q

Quindi andando a sostituire il valore di alla precedente equazione di continuità otteniamo:

ij

A−C ΔH )

¿ ±Qi=0

∑ ¿ ΔH

Il nostro obiettivo è quello di calcolare il nuovo carico per ogni nodo.

∑ ( Ai ±Qi)

ΔH =

i ∑ Ci

Nel nodo B , cioè nel nodo in cui è presente l’impianto di sollevamento, i procedimenti da effettuare

sono diversi: ∑ ∑

A−∆ H C+ qp=0

qp è la portata della pompa e si determina dalla curva caratteristica fornita .

Ipotizzando che la curva sia lineare scriviamo:

qp = a + b ( H + ΔH )

Inserendo tale relazione nell’equazione precedente otteniamo:

∑ ∑ ( )

+ ]=0

A−∆ H C+[a+b H ΔH

ΔH:

Da qui ci possiamo ricavare ∑

∑ +Q

+( ) A

A a+bH p

ΔH ΔH

= =

∑ ∑ C−b

C−b

I valori di a e b li ricavi tramite la regressione lineare della curva caratteristica della pompa.