Esercizio 1 Costruzioni Idrauliche

LEGGE DI GUMBEL

Data la serie di portate di massima piena :

3

Anno Q[m /s]

1928 16.4

1929 77.3

1930 100.9

1932 19.7

1933 31.2

1934 17.3

1935 53.3

1936 24.2

1937 40.6

1938 35.5

1939 51.8

1940 47.3

1960 96.7

1961 119.1

1962 66.1

1963 107.9

1965 113.9

1966 137

1967 41.5

1968 160.9

1969 180.9

Si determinino i valori di Portata di Piena Pluriennali Q per ciascuno degli N anni presi

N,R

considerazione (N = 20, 60, 80, 120, 160, 200), assegnato un valore R per il rischio di 0.04.

Successivamente si rappresentino graficamente l’andamento delle Q al variare di N.

N,R

Procedimento :

1. Riordinare in maniera crescente i dati che si hanno, assegnando un numero d’ordine al

campione.

i Q

1 16,4

2 17,3

3 19,7

4 24,2

5 31,2

6 35,5

7 40,6

8 41,5

9 47,3

10 51,8

11 53,3

12 66,1

13 77,3

14 96,7

15 100,9

16 107,9

17 113,9

18 119,1

19 137

20 160,9

21 180,9

2. Stima della frequenza di non superamento corrispondente ad ogni grandezza del campione.

Utilizziamo la formula di Weibull

i

F(Q) = , dove Nc è la dimensione del campione.

Nc+ 1

i Q F(Q)

1 16,4 0,05

2 17,3 0,09

3 19,7 0,14

4 24,2 0,18

5 31,2 0,23

6 35,5 0,27

7 40,6 0,32

8 41,5 0,36

9 47,3 0,41

10 51,8 0,45

11 53,3 0,50

12 66,1 0,55

13 77,3 0,59

14 96,7 0,64

15 100,9 0,68

16 107,9 0,73

17 113,9 0,77

18 119,1 0,82

19 137 0,86

20 160,9 0,91

21 180,9 0,95

3. Stima del valore medio Q e dello scarto quadratico medio S(Q). Si utilizzano le formule

med

N

∑

∙

Q = 1/Nc Qi

med i=1 Qi−Q

¿ 2 1/2

{1/(Nc-1) ∙

S(Q) = ] }

N med

∑ ¿

i=1 Q- (Q-

i Q F(Q) Qmed Qmed S(Q)

Qmed)^2

1 16,4 0,05 73,31 -56,91 3238,69 49,04

2 17,3 0,09 73,31 -56,01 3137,12

3 19,7 0,14 73,31 -53,61 2874,03

4 24,2 0,18 73,31 -49,11 2411,79

5 31,2 0,23 73,31 -42,11 1773,25

6 35,5 0,27 73,31 -37,81 1429,60

7 40,6 0,32 73,31 -32,71 1069,94

8 41,5 0,36 73,31 -31,81 1011,88

9 47,3 0,41 73,31 -26,01 676,52

10 51,8 0,45 73,31 -21,51 462,68

11 53,3 0,50 73,31 -20,01 400,40

12 66,1 0,55 73,31 -7,21 51,98

13 77,3 0,59 73,31 3,99 15,92

14 96,7 0,64 73,31 23,39 547,09

15 100,9 0,68 73,31 27,59 761,21

16 107,9 0,73 73,31 34,59 1196,47

17 113,9 0,77 73,31 40,59 1647,55

18 119,1 0,82 73,31 45,79 2096,72

19 137 0,86 73,31 63,69 4056,42

20 160,9 0,91 73,31 87,59 7672,01

11575,6

21 180,9 0,95 73,31 107,59 1

4. Stima dei parametri della legge di Gumbel con il metodo dei momenti e

successiva valutazione dei valori di probabilità corrispondenti.

1 , 283

α = , dove α rappresenta l’inclinazione della retta

S(Q)

ε = Q - 0.45 ∙S(Q) ε

, dove rappresenta il valore atteso

med

P(Q) = =

( )

−α −y

Qi−ε −e

−e

e e α(Qi

e P(Q) -ε) e^(-y)

α ε 2,7182 - 2,4878

0,0262 51,24 82 0,08 0,9114 13

2,7182 2,4302

0,0262 51,24 82 0,09 -0,888 68

-

2,7182 0,8252 2,2823

0,0262 51,24 82 0,10 1 64

0,0262 51,24 2,7182 0,13 - 2,0288

0,7074

82 8 75

-

2,7182 0,5243 1,6893

0,0262 51,24 82 0,18 5 52

-

2,7182 0,4118 1,5096

0,0262 51,24 82 0,22 5 04

-

2,7182 0,2784 1,3210

0,0262 51,24 82 0,27 2 4

-

2,7182 0,2548 1,2902

0,0262 51,24 82 0,28 7 98

-

2,7182 0,1031 1,1086

0,0262 51,24 82 0,33 3 38

2,7182 0,0145 0,9855

0,0262 51,24 82 0,37 99 07

2,7182 0,0538 0,9475

0,0262 51,24 82 0,39 42 82

2,7182 0,3887 0,6779

0,0262 51,24 82 0,51 2 24

2,7182 0,6817 0,5057

0,0262 51,24 82 0,60 38 37

2,7182 1,1892 0,3044

0,0262 51,24 82 0,74 87 38

2,7182 1,2991 0,2727

0,0262 51,24 82 0,76 68 59

2,7182 1,4823 0,2271

0,0262 51,24 82 0,80 05 14

2,7182 1,6392 0,1941

0,0262 51,24 82 0,82 78 2

2,7182 1,7753 0,1694

0,0262 51,24 82 0,84 22 29

2,7182 2,2436 0,1060

0,0262 51,24 82 0,90 28 73

2,7182 2,8689 0,0567

0,0262 51,24 82 0,94 07 61

2,7182 3,3921 0,0336

0,0262 51,24 82 0,97 54 36

5. Rappresentazione grafica delle frequenze cumulate e dei valori di

probabilità sul cartogramma di Gumbel una volta stimate le variabili

ridotte y per le due funzioni: 1

y = α(x-ε) P(x)=P(y) = y = -ln(ln( ¿¿

−y

−e

e P( y)

1

y = -ln(ln( ¿¿

F(Q) (Q)

F 1

y = -ln(ln( ¿¿

P(Q) P(Q)

i Q P(Q) F(Q) YF(Q) YP(Q)

1 16,4 0,08 0,05 -1,13 -0,91

2 17,3 0,09 0,09 -0,87 -0,89

3 19,7 0,10 0,14 -0,69 -0,83

4 24,2 0,13 0,18 -0,53 -0,71

5 31,2 0,18 0,23 -0,39 -0,52

6 35,5 0,22 0,27 -0,26 -0,41

7 40,6 0,27 0,32 -0,14 -0,28

8 41,5 0,28 0,36 -0,01 -0,25

9 47,3 0,33 0,41 0,11 -0,10

10 51,8 0,37 0,45 0,24 0,01

11 53,3 0,39 0,50 0,37 0,05

12 66,1 0,51 0,55 0,50 0,39

13 77,3 0,60 0,59 0,64 0,68

14 96,7 0,74 0,64 0,79 1,19

15 100,9 0,76 0,68 0,96 1,30

16 107,9 0,80 0,73 1,14 1,48

17 113,9 0,82 0,77 1,36 1,64

18 119,1 0,84 0,82 1,61 1,78

19 137,0 0,90 0,86 1,92 2,24

20 160,9 0,94 0,91 2,35 2,87

21 180,9 0,97 0,95 3,07 3,39