Teoria dei segnali - esercizi svolti

T

periodo T ), sia considerando che sinc(0)=1. In figura 2.5 sono riportati gli andamenti

2

delle funzioni sinc(x) e sinc (x) rispettivamente.

b) Gli andamenti degli spettri di ampiezza e di fase del segnale s(t) con T = 6, τ = 4 e

A = 2, sono riportati in figura 2.6; i coefficienti c in questo caso sono una sequenza

n

di campioni reali e positivi, per cui si ha: ³ ´

A τ n τ

2

kc k = c = sinc

n n T 2 T 2

∠c = 0

n

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 17

1.5 1.5

1 1

(x)

sinc(x) 2

sinc 0.5

0.5 0

0 −0.5

−0.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x

x (b)

(a) 2

Figura 2.5: (a) sinc(x) e (b) sinc (x)

cioè lo spettro di fase assume valore costante pari a 0, mentre lo spettro di ampiezza

2

segue l’andamento del sinc (·). 2

0.6 1.5

0.5 1

Ampiezza 0.4 0.5

Fase

0.3 0

0.2 −0.5

0.1 −1

0 −1.5

−0.1 −2

−3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3

f f

(a) (b)

Figura 2.6: (a) Spettro di ampiezza e (b) spettro di fase del segnale s(t) onda triangolare, con

T = 6, τ = 4 e A = 2, in funzione della frequenza f 2

Nota(1): per le proprietà del segnale sinc (o equivalentemente del segnale sinc ) vale

che: 



 = 1 x = 0





sin(πx)

sinc(x) = = 0 x intero, x 6 = 0



πx 



 6 = 0 altrimenti

In particolare, quindi, i coefficienti c assumono valore nullo quando l’argomento del

n

2

sinc è un intero diverso da 0: n τ = k, k ∈ Z, k 6 = 0

T 2

e quindi per n intero: 2T

n = k , k ∈ Z, k 6 = 0

τ

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 18

3 0.6

2 0.5

Ampiezza 0.4

s(t) 1 0.3

0.2

0.1

0 0

−0.1

−1 −3 −2 −1 0 1 2 3

−15 −10 −5 0 5 10 15 f

t (b)

(a)

Figura 2.7: (a) Segnale s(t) onda triangolare con periodo T = 10 (τ = 4, A = 2) e (b) relativo

spettro di ampiezza in funzione della frequenza f

Si noti che potrebbero anche non esistere coefficienti a valore nullo nel caso in cui la

2T

precedente relazione non produca mai un numero intero, e cioè se: k ∈

/ Z, ∀k.

τ

Nota(2): se si considera un periodo T = 10 anziché T = 6, si ottengono gli andamenti

per s(t) e c riportati in figura 2.7. Laddove si è avuto un aumento del periodo T che

n

ha provocato un distanziamento maggiore tra le ripetizioni del triangolo, si è avuto

2

un infittimento delle righe spettrali. In altre parole, mentre l’inviluppo del sinc è

rimasto invariato, la densità delle righe spettrali presenti è aumentata. Ovviamente

0

vale anche il viceversa: se si considera un periodo T < T (triangoli più ravvicinati),

si avranno delle righe spettrali più distanziate tra di loro.

Nota(3): il segnale considerato s(t) è un segnale reale e pari; i coefficienti c risultanti

n

sono quindi una sequenza di campioni reali e pari. Si può ricavare facilmente che in

questo caso la serie di Fourier può essere espressa come serie di soli coseni:

³ ´ ³ ´

∞

X A τ n τ n

2

c = c + 2 sinc t

cos 2π

n 0 T 2 T 2 T

1 2

Nota(4): i campioni kc k vanno a 0 come 1/n , e questo è in accordo col fatto che

n

il segnale è continuo, ma con derivata prima discontinua.

0

c) Si consideri ora il segnale traslato s (t) = s(t) − A/2, rappresentato in figura 2.8 (a):

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 19

0

si calcolano i coefficienti c della Serie di Fourier:

n

T /2 T /2 · ¸

Z Z

1

1 A n

n

0 0 −j2π t −j2π t

c = s (t)e dt = s(t) − e dt

T T

n T T 2

−T /2 −T /2

T /2 T /2

Z Z

1 A 1

n n

−j2π t −j2π t

= s(t)e dt − e dt =

T T

T 2 T

−T /2 −T /2

¯

T /2

¯

n

−j2π t A

A 1 e ¯

T = c −

=c − sinc(n)

¯

n n

n ¯

2 T −j2π 2

T −T /2

Dalle proprietà del segnale sinc si ricava facilmente che:

0

c = c , ∀n 6 = 0

n

n A τ A

A

0 = −

c = c −

0

0 2 T 2 2

cioè la traslazione del segnale produce solo una variazione del valor medio, mentre i

coefficienti della serie di Fourier rimangono inalterati.

2

2 1

1 s’(t)

s’(t) 0

0 −1

−1 −2

−2 −12 −6 0 6 12

−12 −6 0 6 12

t t

(a) (b)

0

Figura 2.8: (a) Segnale s(t) traslato: s (t) = s(t) − A/2 con T = 6, τ = 4, e A = 2 e (b) nel caso

particolare τ = T = 6 0 0

Nel caso particolare in cui τ = T , s (t) presenta una particolare simmetria s (t +

0

T /2) = −s (t) (figura 2.8 (b)): un tale segnale si dice alternativo. In questo caso i

0 assumono valore nullo per n pari, infatti:

coefficienti c

n ³ ´

A n

0 2

c = c = sinc ∀n 6 = 0

n

n 2 2

0

c = 0 ∀n pari, n 6 = 0

n

0

c = 0 n = 0

0

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 20

00

d) Si consideri infine il segnale ritardato s (t) = s(t − A/2), rappresentato in figura 2.9:

00

si calcolano i coefficienti c della Serie di Fourier:

n T /2 T /2 µ ¶

Z Z

1 1 A

n n

00 t t

00 −j2π −j2π

c = s (t)e dt = s t − e dt =

T T

n T T 2

−T /2 −T /2

facendo un cambio di variabile t − A/2 = u

T /2−A/2

Z

1 n n A

−j2π u −j2π

= s(u)e e du =

T T 2

T −T /2−A/2 T /2

Z

1 n

n A n A

−j2π −j2π u −j2π

=e s(u)e du = e · c

T 2 T T 2 n

T −T /2 00

Si conclude quindi che i coefficienti della serie di Fourier di un segnale s (t) ottenuto

dal segnale s(t) ritardato temporalmente di una quantità t , sono i coefficienti c del

0 n

n

−j2π t

segnale di partenza s(t) moltiplicati per esponenziali complessi e .

0

T

3

2

s’’(t) 1

0

−1 −12 −6 0 6 12

t

00

Figura 2.9: Segnale s(t) ritardato: s (t) = s(t − A/2) con T = 6, τ = 4, e A = 2

Esercizio 3

Determinare la potenza media del segnale s(t):

s(t) = cos(2πf t)

0

sia applicando la definizione di potenza media, sia applicando il Teorema di Parseval per

la serie di Fourier.

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 21

Soluzione 3

Si ricordi che la potenza media di un segnale periodico può essere definita come:

+T /2

Z 0

1 2

P = · ks(t)k dt

s T

0 −T /2

0

e che il Teorema di Parseval afferma che:

+T /2

Z 0 ∞

X

1 2 2

P = · ks(t)k dt = kc k

s n

T

0 n=−∞

−T /2

0

Nel caso del cos(2πf t) risulta dalla definizione:

0 +T /2 µ ¶

Z 0 2π

1 2

· cos t dt =

P =

s T T

0 0

−T /2

0

+T /2

· µ ¶¸

Z 0

1 1 1 2π

= · + cos t dt =

T 2 2 T /2

0 0

−T /2

0

+T /2 +T /2 µ ¶

Z Z

0 0

1 1 1 1 2π 1

= · dt + · cos t dt =

T 2 T 2 T /2 2

0 0 0

−T /2 −T /2

0 0

essendo nullo l’integrale del coseno di periodo T /2 integrato sul periodo T . Applicando

0 0

il Teorema di Parseval si ottiene molto più rapidamente:

¶ ¶

µ µ

∞

X 2 2

1 1 1

2

P = kc k = + =

s n 2 2 2

n=−∞

Altri esercizi

Calcolare la Serie di Fourier dei seguenti segnali:

a) s(t) = t − btc, figura 2.10 (a);

¡ ¢

P

∞ 1

n − n , figura 2.10 (b);

b) s(t) = (−1) rect t −

n=−∞ 2 

 2

t |t| ≤ 1

P

∞

c) s(t) = s (t − 2n), s (t) = , figura 2.11(a);

T T

n=−∞ 

0 altrimenti







|1 − t| |t| < π





P

∞

d) s(t) = s (t − 2πn), s (t) = , figura 2.11(b);

π |t| = π

T T

n=−∞ 







0 altrimenti

CAPITOLO 2. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 22





 2 − |t| −1 < t < 1





P ∞

e) s(t) = s (t − 4n), s (t) = , figura 2.12;

|t − 2| − 2 1 < t < 3

T T

n=−∞ 





 0 t = −1, 1, 3

2 2

1 1

s(t) s(t)

0 0

−1 −1

−2 −2

−2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2

t t

(a) (b)

Figura 2.10: (a) Esercizio a) ; (b) Esercizio b)

2 5

4

1 3

s(t) s(t)

0 2

1

−1 0

−2 −1

−2 −1 0 1 2 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

t t

(a) (b)

Figura 2.11: (a) Esercizio c); (b) Esercizio d)

2

1

s(t) 0

−1

−2

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

t

Figura 2.12: Esercizio e)

Capitolo 3

Trasformata di Fourier

Problemi affrontati nel presente capitolo:

Calcolo di trasformate di Fourier:

• dalla definizione

• usando le proprietà

• rappresentazione degli spettri di fase e di ampiezza

Prodotto di convoluzione:

• esempi di calcolo

• relazione con la trasformata di Fourier

Uso del teorema di Parseval e Parseval generalizzato per:

• calcolo dell’energia di un segnale

• calcolo di un integrale

Calcolo di trasformate di Fourier per segnali periodici:

• teorema di Poisson

• calcolo dei coefficienti della serie e calcolo della trasformata

Esercizio 1

Si consideri il segnale s(t): −αt

s(t) = e u(t)

con α > 0 e si risponda alle seguenti domande:

a) calcolare la trasformata di Fourier S(f );

23

CAPITOLO 3. TRASFORMATA DI FOURIER 24

3t

b) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s (t) = e u(−t);

1 −2t+4

c) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s (t) = e u(t − 2);

2 −t/2

d) calcolare la trasformata di Fourier del segnale s (t) = e cos(100πt)u(t);

3

Soluzione 1

a) Il segn