Esercizi svolti Teoremi di analisi matematica 1

ANALISI 1

Teoremi

Teoria ed esercizi

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI

Sia f(x) una funzione Y=f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b]. Se le immagini della funzione nei

punti estremi dell’intervallo hanno segni opposti allora esiste un punto appartenente all’intervallo per cui

f( )=0

0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI WEIERSTRASS

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, assume in questo intervallo un valore

massimo e un valore minimo. Ciò implica che se la funzione è continua in [a,b], è derivabile. Pertanto:

1. Esiste almeno un punto di minimo ∈ , , ℎ ∈ , ℎ ℎ ( ) ≤ ()

2. Esiste almeno un punto di massimo ∈ , ℎ ∈ , ℎ ℎ ( ) ≥ ()

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

Sia f(x) una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato[a,b], definiti m ed M i suoi unti di

massimo e minimo appartenenti all’intervallo, risulta è derivabile. Pertanto: risulta che f(x) assuma tutti i

valori compresi tra il suo massimo e minimo, ovvero:

∀ ∈ , , ℎ, ≤ ≤ , ∃ ∈ , ℎ ( ) =

0 0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI FERMAT

Sia f(x) una funzione derivabile nel punto c, intorno al suo dominio. Se c è un punto estremante

(max,min) di f(x), la derivata di f(x) si annulla in c: f’(c)=0

Pertanto, affinché un punto di massimo o di minimo sia classificato come tale, la condizione

necessaria è che la derivata calcolata nel punto si annulli.

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI ROLLE

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed è derivabile nel

medesimo intervallo aperto Se f(a)=f(b) allora esiste un punto ′

], [. ∈ ], [ ℎ = 0

0 0

Riassumendo:

f(x) Continua in [a,b]

f(x) derivabile in ]a,b[ ′

∈ ], [ ℎ = 0

0 0

f(a)=f(b)

Significa che nell’intervallo esiste un punto in cui la retta

tangente alla funzione sia orizzontale

(cioè nei punti di massimo e di minimo)

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI ROLLE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 202