Esercizi svolti Teoremi di analisi matematica 1

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

Sia f(x) una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato[a,b], definiti m ed M i suoi unti di

massimo e minimo appartenenti all’intervallo, risulta è derivabile. Pertanto: risulta che f(x) assuma tutti i

valori compresi tra il suo massimo e minimo, ovvero:

∀ ∈ , , ℎ, ≤ ≤ , ∃ ∈ , ℎ ( ) =

0 0

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI FERMAT

Sia f(x) una funzione derivabile nel punto c, intorno al suo dominio. Se c è un punto estremante

(max,min) di f(x), la derivata di f(x) si annulla in c: f’(c)=0

Pertanto, affinché un punto di massimo o di minimo sia classificato come tale, la condizione

necessaria è che la derivata calcolata nel punto si annulli.

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI ROLLE

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed è derivabile nel

medesimo intervallo aperto Se f(a)=f(b) allora esiste un punto ′

], [. ∈ ], [ ℎ = 0

0 0

Riassumendo:

f(x) Continua in [a,b]

f(x) derivabile in ]a,b[ ′

∈ ], [ ℎ = 0

0 0

f(a)=f(b)

Significa che nell’intervallo esiste un punto in cui la retta

tangente alla funzione sia orizzontale

(cioè nei punti di massimo e di minimo)

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI ROLLE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed è derivabile nel medesimo

intervallo aperto Esiste almeno un punto appartenente all’intervallo per cui il valore del

], [.

0

coefficiente angolare della retta passante per i due punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è uguale al coefficiente

angolare della retta alla funzione nel punto

0

f(x) Continua in [a,b] − () ′

∈ ], [ ℎ =

0 0

f(x) derivabile in ]a,b[ −

Significa che esiste un punto in cui la retta tangente è parallela alla corda congiungente gli

estremi del grafico, dunque :

è il coefficiente angolare della retta.

1. ′( )

0

−() è il coefficiente angolare della corda

2. −

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI LAGRANGE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI CAUCHY

Siano due funzioni f(x) e g(x) continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed è derivabile nel

medesimo intervallo aperto Esiste almeno un punto appartenente all’intervallo per cui il

], [.

0

rapporto tra le variazioni delle due funzioni calcolate negli estremi di questi intervalli è pari al

rapporto delle loro derivate calcolate nel punto .

0

f(x) Continua in [a,b]

f(x) derivabile in ]a,b[ − ′( )

0

∈ ], [ ℎ =

0 − ′( )

0

g(x) Continua in [a,b]

g(x) derivabile in ]a,b[

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 TEOREMA DI CAUCHY

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ESERCITAZIONE

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI

ESERCIZIO 1

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021

TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

ESERCIZIO 1

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ESERCIZIO 2

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ESERCIZIO 2

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ESERCIZIO 2

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021 ESERCIZIO 3

VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021