Esercizi Svolti su Nyquist e Luogo delle radici, Controlli digitali

Esercitazioni Controlli

Luogo delle radici e stabilità

5 esercizi

1. ESERCIZIO

   LD di L(s) = p_{R S+30}/_S+20 G(s)

   con G(s) = _E/_CRs+1 = ₁₀₀/_s+10

   (→ inf. DC/DC converter)

2. ESERCIZIO

   LD di L(s) = p_{R 1}/_{(s+0.5)(s²+2s+2)}

3. ESERCIZIO

   LD di L(s) = p_{R 0.1s+0.1}/_(2s-4)²

4. ESERCIZIO prova d'esame del 18/7/2005

   Esercizio 1

   Nyquist e LDR di L(s) = p_{R s+2}/_{(s-1)(s²+2s+2)}

5. ESERCIZIO prova d'esame del 12/9/2005

   Esercizio 1

   Nyquist e LDR di L(s) = p_{R (s+a)²}/_s²(s+1)

1° ESERCIZIO

G(s) = _E / (CR₁s + 1)

E=10V   L=0   C=0.1F

R₁=1Ω   R₂>R₁

G(s) = ¹⁰ / (0.1s + 1) = ¹⁰⁰ / (s + 10)

R(s) = ρ_R ^{s + 30} / (s + 20)

L(s) = ρ^{s + 30} / ((s + 10)(s + 20))   con   ρ = 100 ρ_R

Tracciamento del luogo

Il luogo ha due rami, che partono dai poli di L(s), cioè -p₁=-10 e -p₂=-20. Di questi rami uno termina nello zero di L(s), -z=-30 e l'altro va all'infinito seguendo un asintoto che interseca l'asse reale nel punto x_as=Σz_i-Σp_i=30-10-20=0 e che forma con l'asse reale un angolo pari a Ψ_a=180° (dunque è tratto dell'asse reale negativo)

Verifica degli angoli di partenza dei poli:

d₁=180°+∠p₁+∠z−∠p₂=180°+20°−10°=180°

d₂=180°+∠p₂−∠p₁+∠z=180°+10°−10°=180°+0°=180°

d₃=180°+∠z−∠p₁+∠p₂=180°+10°+20°−30°=180°

3° ESERCIZIO

L(s) = _pR ^{0.1s + 0.1}/_{(2s - 4)²}

mettiamo L(s) nella forma standard

L(s) = _pR/₁₀ ^{s + 1}/_{(s - 2)²} = ^{ρ (s + 1)}/_{(s - 2)²}

Il k_d ha 2 rami; entrambi partono dal polo doppio in s = 2.

Uno di essi termina nello zero di L(s), z₁ = -1, e l'altro si all'infinito secondo

un asintoto che interseca l'asse reale in x_a = 2_:p; = -1 + 4/3 e forma

un angolo con l'asse reale pari a ψ_a = 180° (→ è il semipiano reale negativo)

hanno tre singolarità alla loro destra.

Gli angoli di uscita dal polo sono

1. d_k = 1/_h [[2k+1]180° +-ρ+2] = 1/2 [[2k+1]180° + 4π/3] = 1/2 [2k+1] 360° {90°, 270°}

L'angolo di arrivo nello zero è

β = 180° +-40°/2 - z + p = 180°+2/3 = 180° - 2 ⋅ 180° = -180°

ρ = 0 ⇒ sys a ciclo chiuso instabile

finché il ramo reale è nel semipiano a Re > 0, il sys a ciclo chiuso sarà certamente stabile. Cerchiamo il ρ* per cui il polo di F che parte da -ρ* arriva nell'origine.

Per via analitica

1 + L(s) = 0 ⟹ (s - 1)(s² + 2s + 2) + ρ(s + 2) = 0

Verifichiamo che s = 0 sia soluzione

(-1)(+2) + 2ρ* = 0

ρ* = 1

dunque la soluzione reale è

• d Re > 0
• Re < 0
• ρ < 1
• ρ > 1

(1)

Le soluzioni complesse e coniugate hanno Re < 0 finché i rami c.c. del L0 non intersecano l'asse Im. Supponiamo che questo accada a ρ̅.

A questo valore il polo reale si troverà nella posizione S_L che possiamo trovare con la regola del bisection.

ν = 2 x_β = -∑p_i = -1 ed è indip. da ρ.

A ρ̅ x_β = -∑S_i + S_L + S₃ = -2, -3, -1 ⟶ A ρ̅ il polo reale è in -3; = -1

S₂ = -3_L

Le soluzioni c.c. sono

• Re < 0
• Re > 0
• ρ < 2
• ρ > 2

(2)

le (1) e la (2) ⟹ 1 < ρ < 2

ρ < 1 ⟶ sys a ciclo chiuso INSTABILE

1 < ρ < 2 ⟶ sys c.c. AS. STABILE

(2) ρ > 2 ⟶ sys c.c. INSTABILE

Studio della stabilità.

Dobbiamo trovare il p per cui il ldr interseca l'asse immaginario.

1 + L(s) = 0

s⁵(s + 1) + p(s⁴ - 2) = 0

s⁵ + ps⁴ + 8ps + 16p = 0

1 p + 1        8p 16p -16 - 8p(p + 1) p + 1 > 0

16p

Il sys a ciclo chiuso è asintoticamente stabile se tutte le radici di 1 + L(s) sono a Re < 0, cioè se:

• p + 4 > 0
• p + 1 > 0
• ↔
• p > -1 (ovvio, perché p > 0 nel LB)
• -16p² + 8p + 8p > 0
• p² - 8p > 0
• 16p > 0
• ↔
• p > -1
• p(8p - 8) > 0
• p > 0
• ↔
• p > 1
• 8p > 8
• p > 0

Il sys a ciclo chiuso è as. stabile per p > 1

"    "  è instabile per p < 1

"    "  è marg. stabile per p = 1