Esercizi Svolti Luogo delle Radici, Controlli digitali

Dato: G(s) = ^S+3⁄_(S+1)(S+10) progettare, mediante l'uso del luogo delle radici, un regolatore R(S) tale per cui siano soddisfatte le seguenti specifiche:

• S1) E_ss = 0 per w(t) = sea(t)
• S2) T_aα ≤ 2.5 sec

Per la specifica S1, essendo G(s) di tipo 0 e dovendo L(s) = R(s)G(s) essere di tipo 1, in R(s) ci vorrà un polo nell'origine.

La S2 si può riportare in una specifica sulla parte reale dei poli della fdt a ciclo chiuso. Supponendo che questa sia approssimabile con un sistema del secondo ordine si ha:

• T_aα ≤ ^4.6⁄_|σ| dove σ è la parte reale dei poli.

T_aα ≤ 2.5 ⇒ ^4.6⁄_|σ| ≤ 2.5 ⇒ |σ| ≥ ^4.6⁄_2.5 = 1.84

Per cui, volendo anche un sistema asintoticamente stabile deve essere

σ ≤ -1.84

che possiamo approssimare per eccesso in

σ ≤ -2

Tracciamo ora il luogo di L_γ(s) = R_γ(s)G(s) = ^μ_R⁄_s ^S+3⁄_(S+3)(S+10)

x_α = ¹⁄₂(3-1-10) = -4

Essendo p = 2 il baricentro è costante

x_β = -1-10 = -11

Quando i due poli della fdt a ciclo chiuso avranno parte reale

uguale a -2, poiché le parti immaginarie siano uguali ed opposte si ha:

-2+jx - 2-jx - p̅ = -11 (x)

dove -p̅ è l'altro polo reale e cioè chiuso. Dalla (*) si ha

-4 - p̅ = -11 ⇒ -p̅ = -11+4 = -7

Si può allora trovare μ_R con le regole di taratura del luogo

μ_R = ^{ĀP₁ ⋅ B̅P₁ ⋅ D̅P₁}/_C̅P1

  = ^{7 ⋅ 6 ⋅ 2}/₅ =

Un controllore che soddisfa le specifiche è allora

R(s) = ^μ_R/_s

con μ_R ≥

G(s) = ¹/_{(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)}

S1) e_₀ = 0 per u(t) = se(t)

S2) ω_n = 7 rad/s

Per S1 il controllore dovrà avere un polo nell'origine, essendo G(s) di tipo 0.

Per la S2 i poli della fdt a ciclo chiuso dovranno giacere all'esterno delle circonferenze di raggio 7 nel piano complesso

G(s) = ²⁰/_{(s + 2)(s + 10)}

Vediamo se è sufficiente un controllore

⇒ L_₀(s) = R_k(s)·G(s) = 20μ_k·¹/_{s(s + 2)(s + 10)}

x_α = ¹/₃ (-2 - 10) = -4

ψ_∞ = 60° ψ_α = 180° ψ₂ = -60°

Bisogna necessariamente introdurre uno zero per cercare di portare il luogo verso il semiasse reale negativo