Esercizi svolti di algebra lineare e geometria

KK O K O K OO

1 0 0 1 0 0

= =

S S L

[8] dim 3, , , ;

0 0 1 0 0 1

KK O K O K OO

1 0 0 1 0 0

= =

T T L

dim 3, , , .

-1

0 0 0 1 0 Università di Torino

Capitolo 13 – Soluzioni - Sottospazi vettoriali 131

=

K H

[9] non è un sottospazio vettoriale. dim 2;

æç æç ö÷ æç ö÷ ö÷

1 0 0 1

ççç ççç ÷÷ çç ÷÷ ÷÷

=

H L 1 , 3 .

÷÷ çç ÷÷ ÷÷

ç ç -1

2

è è ø è ø ø

2 2

[10]

A 2, 0, 3}, 1, 3, 0}, 0, 1, 1}, 1, 0, 0}}

:= {{1, {-1, {0, {1,

Det[A]

-9 = = (-1,

H H L((1,

i) dim 2, 2, 0, 3), 1, 3, 0)).

+ = Å

K) H K.

ii) dim(H 4,

[11]

m 2, 0}, 0, 2, 2, 1}, 1, 3}};

= {{1, -1, {1, -1}, {0, -2, {4, -2,

Det[m]

-13

LinearSolve[Transpose[m], 0, 0, 1}]

{1,

7 8 4

10 >

: - , , ,

13 13 13 13

Solve[{x1 2x2 0, x1 x4 0, x2 2x3 0}, x2, x3, x4}]

+ == + == + == {x1,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

x4 x4

::x1 >>

® -x4, ® ® -

x2 , x3

2 4

10 7 8 4

= - + + +

i) A A A A A .

1 2 3 4

13 13 13 13

KK O K O K OO

-2 1 0 0 0 0

= =

A A L

ii) dim 3, , , ;

0 0 1 0 0 1

KK O K OO

-1 -2

0 0

= =

B B L

dim 2, , ;

0 1 1 0

KK O K O K O K OO

-2 -1

1 0 0 0 0 0

+ = + =

B) A B L

dim(A 4, , , , ;

0 0 1 0 0 1 0 1

KK OO

-2

4

È = È =

B) A B L .

dim(A 1, -4

1

= = (0,

H H L((2,

[12] i) dim 2, 0, 1, 0), 0, 0, 1));

= = -1), (1, -2, (1,

K K L((0,

dim 3, 2, 1, 1, 1), 2, 7, 1)).

+ = + = (0, (0, -1), (1, -2,

K) H K L((2,

ii) dim(H 4, 0, 1, 0), 0, 0, 1), 2, 1, 1, 1)).

[13] Sı̀. ”

= (0, Í

H K.

[14] ii) 0, 0, 1) per esempio. iii)

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

132 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

[15]

Reduce[{x y z 0, x h y h) z 0,

+ + == + + (2 - ==

x hˆ2 y 4) z 0}, y, z}]

- - + (3h - == {x,

== == -y - == == -2 ==

h 1&&x z||h 2&&x z&&y z||

== == == - + ¹ - + ¹

x 0&&y 0&&z 0&& 2 h 0&& 1 h 0

Î {1, = { };

W

Se h / 2}:

= = (-1,

W L((-1,

se h 1: 1, 0), 0, 1));

= =

W L((-2,

se h 2, 1, 1)).

3

Î {1, = = (0,

— L((1, L((0,

ii) Se h / 2}: ; se h 1: 0, 0)) per esempio; se h 2 1, 2), 0, 1)) per esempio.

-1

æç æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ ö÷

1 0 3 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷

ççç ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ÷÷÷

-1

=

B 0 0 2 1 0 0 5 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0

[16] , , , , , .

ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ø ÷ø

-6

3 2 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

è è ø è ø è ø è ø è ø è

[17]

A X x2}, x4}};

= {{6, -9}, {4, -6}}; = {{x1, {x3,

Solve[A.X X.A, x2, x3, x4}]

== {x1,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: : 9 x3

::x1 >>

® + ® -

3 x3 x4, x2 4

Solve[A.X x2, x3, x4}]

== -X.A, {x1,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

9 x3

::x1 ® -x4, ® +

x2 3 x4>>

4

Solve[{A.X X.A, A.X x2, x3, x4}]

== == -X.A}, {x1,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

3 x4 2 x4

::x1 >>

® -x4, ® ® -

x2 , x3

2 3

A1 4, 0}; A2 0, 0, 1}; A3 9, 4, 0};

= {12, -9, = {1, = {0,

A4 3, 0, 1}; c h 2, 0, h 3};

= {-1, = {0, - -

d Solve[c x A1 y A2 z A3 w A4, y, z, w, h}][[1]]

= == + + + {x,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

1 w 1 w

:x + ® - ® - ®

® - , y 2 w, z , h 5>

6 6 6 6

Simplify[(x/.d[[1]]) A1 + (y/.d[[2]] )A2]

3 2

:w, - (-1 + (-1 + -

w), w), 2 w>

2 3

Simplify[(z/.d[[3]])A3 + (w/.d[[4]])A4]

(1 +

3 w) 2

: - - (-1 +

w, , w), w>

2 3

KK O K OO KK O K OO

-9 -1

12 1 0 0 9 3

= =

F L G L

i) , , , .

4 0 0 1 4 0 0 1

KK OO

-9

6

È =

F G L

ii) ,

-6

4

KK O K O K OO

-9 -2

12 1 0 3

+ =

F G L , , .

4 0 0 1 0 0 Università di Torino

Capitolo 13 – Soluzioni - Sottospazi vettoriali 133

3 3

æç ö÷ æç ö÷

- -w

(-1 + (1 +

w w) w)

ç ÷÷ ç ÷÷

ççç ççç

2 2

÷÷ ÷÷

= -5, = = Î —.

iii) h C , C , w

1 2

2 2

çç ÷÷ çç ÷÷

(-1 + - (-1 +

-

w) 2 w w) w

è ø è ø

3 3

[18]

Solve[{x1 2x3 x4 0, x3 x4 0}, x2, x3, x4}]

+ + == - == {x1,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

{{x1 ® -3 ®

x4, x3 x4}}

a 0, 2, 0}; b 1, 1}; c 8,

= {1, = {0, -1, = {3, -2, -2};

L b, c}

= {a,

B Base[L]

=

{{1, {0, -1, {3, -2, -2}}

0, 2, 0}, 1, 1}, 8,

Vett.Base

{{1,

1 0, 2, 0}}

{{1, {0, -1,

2 0, 2, 0}, 1, 1}}

{{1, {0, -1,

3 0, 2, 0}, 1, 1}}

Risultato

{{1, {0, -1,

0, 2, 0}, 1, 1}}

e 1, 2, 1}; f 1, 3, 1}; g 4,

= {0, = {2, = {1, -2, -2};

L1 f, g};

= {e,

B1 Base[L1]

=

Vett.Base

{{0,

1 1, 2, 1}}

{{0, {2,

2 1, 2, 1}, 1, 3, 1}}

{{0, {2, {1, -2, -2}}

3 1, 2, 1}, 1, 3, 1}, 4,

Risultato

{{0, {2, {1, -2, -2}}

1, 2, 1}, 1, 3, 1}, 4,

L2 b, e, f, g}

= {a,

B2 Base[L2]

=

{{1, {0, -1, {0, {2, {1, -2, -2}}

0, 2, 0}, 1, 1}, 1, 2, 1}, 1, 3, 1}, 4,

Vett.Base

{{1,

1 0, 2, 0}}

{{1, {0, -1,

2 0, 2, 0}, 1, 1}}

{{1, {0, -1, {0,

3 0, 2, 0}, 1, 1}, 1, 2, 1}}

{{1, {0, -1, {0,

4 0, 2, 0}, 1, 1}, 1, 2, 1}}

{{1, {0, -1, {0,

5 0, 2, 0}, 1, 1}, 1, 2, 1}}

Risultato

{{1, {0, -1, {0,

0, 2, 0}, 1, 1}, 1, 2, 1}}

A x 1, 0, 0} y 0, 1, 1} B z e t f w g;

= {0, + {-3, ; = + +

Solve[A B, y, z, t, w}]

== {x,

¢¢ ¢¢

svars Equations may not give solutions for all solve variables.

:: :

{{x ® ® ® ® -23

15 w, y 15 w, z 40 w, t w}}

A/.%

{{-45 w, 15 w, 15 w, 15 w}}

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

134 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

= (-3, =

W L((0, W

i) 1, 0, 0), 0, 1, 1)), dim 2.

1 1

= (0, -1, =

W L((1, W

ii) 0, 2, 0), 1, 1)), dim 2;

2 2

= (2, (1, -2, -2)), =

W L((0, W

1, 2, 1), 1, 3, 1), 4, dim 3.

3 3

+ = È (W + ) = È (W + )) =

W W W W W L((-3, W

iii) , 1, 1, 1)), dim(W 1;

2 3 3 1 2 3 1 2 3

H

[19] non è un sottospazio vettoriale;

æç æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ æç ö÷ ö÷

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷

ççç ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ççç ÷÷÷ ÷÷÷

=

K L 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, , , , , ,

ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

è è ø è ø è ø è ø è ø è ø ø

=

K

dim 6.

[20] No. = {(-2t - - ), Î = {(0, Λ), Λ Î

W —} W —}

[21] 3t t , t , t , t t , t , t e 0, 0, da cui segue la tesi.

1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 2

È ) = È = (0, -8,

W W W L((1,

[22] dim(W 2, 2, 0, 0, 0), 8, 3, 1)),

1 2 1 2

+ ) =

W

dim(W 5.

1 2

È ) = È = (0,

W W W L((0,

[23] dim(W 2, 0, 3, 2, 0), 0, 3, 0, 2)),

1 2 1 2

+ ) =

W

dim(W 5.

1 2 = = -2, (0, (0,

W W L((1,

[24] i) dim 3, 0, 0, 0), 0, 0, 1, 0), 0, 0, 0, 1));

1 1

= = ).

W W L(

ii) dim 2, ,

2 2

= -2, (1, (0,

W L((1,

iv) 0, 0, 0), 0, 0, 0, 0), 0, 1, 0, 0)).

3

[25]

m 2, 0}, 3, 0, 1}, 2, 1}};

= {{1, -1, {0, -1, -2}, {1, -1, {3, -1,

a 2};

= {2, -1, -1,

LinearSolve[Transpose[m], a]

{2, -1}

0, 3,

K O

-1

2 = + -

2A 3A A .

1 3 4

-1 2 Università di Torino

Capitolo 13 – Soluzioni - Sottospazi vettoriali 135

[26]

a 2, 0}; b 2, 1}; d 1, 0}; c 2, 3};

= {1, = {0, = {0, = {1,

LinearSolve[Transpose[{a, b, d}], c]

{1, -6}

3,

æç æç ö÷ ö÷

0 0 1

ç ç ÷ ÷

ççç ççç ÷÷÷ ÷÷÷

¢ =

B 0 0 0

i) A, B, .

ç ç ÷ ÷

-1 0 0

è è ø ø

æç ö÷

0 0 1

ç ÷

ççç ÷÷÷