Esercizi Serie Numeriche

Serie

1). Serie Geometriche:

∑_m=0^∞ 9^m

• converge a ¹/_1-9 se -1<q<1
• diverge se q>1
• irregolare se q<1

Es. Decidere il comportamento delle seguenti serie e calcolarne la somma:

1. ∑_m=0^∞ (2^m + 3^m)/5^m

=∑_m=0^∞ 2^m/5^m + ∑_m=0^∞ 3^m/5^m

= ¹/_1-2/5 + ¹/_1-3/5 = ^5/3 + ^5/2 = ^25/6

2. ∑_m=0^∞ (log α)^m

q = log α, α>0 converge se:

• -1<log α<1, e^-1<α<e, ¹/_e<α<e

∑_m=0^∞ (log α)^m = ¹/_{1−log α}

• diverge se log α>1 ⇒ α>e
• irregolare se log α ≤ 1 ⇒ 0<α<¹/_e

3).

_∑^∞_m=1 ( ¹_1+d )^m

converge se -1 < ¹_1+d < 1 ⇒ ¹_1+d ≤ 1

|1+d| > 1 ⇔ |1+d|>1 ^{↰+d <-1}_{↱+d >1}

sol ⊂: d<-2 ∨ d>0

_∑^∞_m=0 ( ¹_1+d )^m = ¹_{1-( ¹1+d )} = ^1+⍺_1+d-1 = 1 + ¹_⍺

_∑^∞_m=1 ( ¹_1+d )^m = _∑^∞_m=0 ( ¹_1+d )^m - 1 = 1 + ¹_⍺ - 1 = ¹_⍺

2). Serie Telescopiche:

1). Mengoli:

_∑^∞_m=1 ¹_m²+m = _∑^∞_m=1 ¹_m(m+1) = _∑^∞_m=1 ( ¹_m - ¹_m+1 )

S_x = ( 1 - ¹₂ ) + ( ¹₂ - ¹₃ ) + ( ¹₃ - ¹₄ ) + ... + ( ¹_K - ¹_K+1 )

= 1 - ¹_K+1

⇒ _∑^∞_m=1 ¹_m²+m = lim_K→+∞ S_K = 1

es.

Mediante l'utilizzo dei criteri del confronto determinare il carattere delle serie seguenti:

1. \(\sum_{{m=1}}^{\infty} |\sin m| \leq \frac{1}{m^2}\)

   converge ⇒ \(\sum\) |a_m| converge perchè \(\sum \frac{1}{m^2}\) converge

2. \(\sum_{{m=0}}^{\infty} \frac{3m^2+1}{m^3+m+1}, a_m = \frac{3m^2+1}{m^3+m+1} \sim \frac{3}{m^2}\)

   \(\sum_{{m=1}}^{\infty} \frac{3}{m^2}\) converge ⇒ converge

3. \(\sum \frac{1}{\sqrt{m}(1+m)}, a_m = \frac{1}{\sqrt{m} m (1+m+1)} \sim \frac{1}{m^{3/2}}\)

   \(\sum \frac{1}{m^{3/2}}\) converge ⇒ converge

4. \(\sum_{{m=0}}^{\infty} \frac{m}{m^2+1}\)

   \(\frac{m}{m^2+1} \sim \frac{1}{m} \sum \frac{1}{m}\) non converge

   ⇒ non converge

5. \(\sum \frac{1}{\sqrt{m}} = \sum \frac{1}{m^{1/2}}\) non converge

• \(\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n} \cos{(n\pi)} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^m \frac{\sqrt{m}}{m^3 + 3}\)

  \(\frac{(-1)^m \frac{\sqrt{m}}{m^3 + 3}}{\frac{\sqrt{m}}{m^3}} \sim \frac{m^{1/2}}{M^{3/2}} = \frac{1}{M^{5/2}}\)

  \(\frac{5}{2} > 1\)

  poiché \(\sum (-1)^m \frac{1}{m^{3/2}}\) converge si ha che \(\sum \frac{\sqrt{m}}{m^3 + 3}\) converge

  \(\Rightarrow \sum (-1)^m |a_n| \ \text{converge assol.}\)

• \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\log{n}}\)

  Griterio di Leibniz: \(\frac{1}{\log{n}} > 0\)

  \(\lim_{m \to \infty} \frac{1}{\log{m}} = 0\)

  \(m < m + 1\)

  \(\log{m} < \log{(m + 1)}\)

  \(\frac{1}{\log{m}} > \frac{1}{\log{(m + 1)}}\)

  \(a_{m+1} < a_m \ \Rightarrow a_n \ \text{decr.}\)

  \(\Rightarrow \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\log{n}} \ \text{converge}\)

Verifico che la serie a segnata non converge assolutamente

\(\frac{\log{m}}{n} \sim \log{n}\)

\(\sum \frac{1}{\log{m}} > \sum \frac{1}{m \log{n}}\)

\(\sum \frac{1}{\log{n}} \ \text{diverge}\)

\(\sum (-1)^m \frac{1}{\log{n}} \ \text{non conv. assol.}\)

2- Se f è dispari, → a_n = 0

b_m = ²⁄_π ∫₀^π f(x) sen mx dx = ²⁄_π ∫₀^π/2 (1-e^-x) sen mx dx m > 1

es. Data la funzione f(x) periodica di periodo 2π definita:

f(x) = {     0   -π ≤ x < 0     sen x   0 < x ≤ π }

1- Tracciare il grafico di f tra [-2π, 2π] 2- Calcolare a₁ e b₁ di Fourier.

a₁ = ¹⁄_π ∫₀^2π f(x) cos x dx = ¹⁄_π ∫₀^π sen x cos x dx = ¹⁄_π [₀^π sen² x = 0

b₁ = ¹⁄_π ∫₀^2π f(x) sen x dx = ¹⁄_π ∫₀^π sen² x dx = ¹⁄_π ∫₀^π [^{1 - cos 2x}⁄₂] dx

= ¹⁄_π [∫₀^{π 1}⁄₂ dx - ∫₀^{π 1}⁄₂ cos 2x dx] = ¹⁄_π [¹⁄₂ π - ¹⁄₂ ^{sen 2x}⁄₂]₀^π = ¹⁄₂

(&sup>1⁄₂) ↓  =>  sen x = ± √( ^{1 - cos 2x}⁄₂ )

Nota:

Proiezione di un vettore v^→ lungo la direzione di un vettore b^→:

c^→ = P_b (v^→)

= (b^→ • v^→) / (b^→ • b^→) • b^→

es.

Gram-Schmidt:

B = {v₁, ..., v_n} base di ℝⁿ

Trovare una base ortogonale di ℝⁿ (U₁, ..., U_n)

Base ortogonale:

norma _√3, _√2 e _√³/2

Base ortonormale: