Esercizi sui Campi Vettoriali, Divergenza di Gauss e Stokes

Esercizio: Sui cammini nello spazio

(a) Calcolare l'area delmantenendo il grafico di x = 1 − √₄−t²con t ∈ [−a, a], ovvero dell'asse Zvolumetto

Come prima cosa si disegna la parametrizzazione, per questo riprimail caso generaleTroviamo una curva che ha equazione x = f (z)(x, t) ∈ (x(t), t ) t ∈ [c, d] con x(t) > 0∀tSia quindi X: prendiamo una certa curva sulpiano (x, t) e riportiamo ruotando sudi xSia -D una superficie Ʃ_t, divisera lecurva, come già fare - riprendiamo una parametrizzazionedella superficie Ʃ

Il primo parametro sarà l parametro che descrive lacurva al si del secondo parametro sarà l'angolo concui "si rotano" ruotando il punto, la distanzad'alline asse rimane uguale a x(t), Le sue coordinateparametrizzando sul pianto (x,y) saranno:

• x = x(t) cos (α)
• y = x(t) sin (α)
• (t , α) ∈ [a, b] x [0, 2π]
• t = t(t)

Quando lo ruota la quotarimane (le stesse

Se vogliamo calcolare l'area, dobbiamo calcolare la lunghezza del vettore O(ν_n,ν_b).Calcoliamo il prodotto misto quindi:

O_n × O_b = det

|x'(t)cos(α) x'(t)sin(α) μ||α(t)sin(α) x(t)cos(α) o||x'(t)sin(α) x(t)cos(α) o|

= (-x(t)z′(t) (1/cos(α),-x(t)/2t'(t)sin(α),= x'(t) x(t))

Quindi:

Il O_n × O_b = ||x(t) z'(t)²cos²(α) + x(t)²z′(t)²sin²(α) + x'(t)²x(t)² == x(t) || x' (t)² + z' (t) ||^1/2 = x (t) || y'(t) ||Ora possiamo calcolare l'area della superficie Ʃ:

A(ζ(t)|∫_a^b dt ∫_a^b || y'(t)|| dt = 2π ∫_a^b x(t)|| y'(t)|| dt =

= ∫_a^b |L = ∫_a^b ||γ'(t)|| d t = Δ 2π L ( a/L ) ∫_a^b x(t) ||γ'(t)|| d t = 2π x̅ L

x̅ = Coordinata x del baricentro dell'

Baricentro

∫_{(x̅ ĵ)^t} ( a/L ) ∫_a^b (L a/L ) y(t) ||γ'(t)|| || d t = 1/L ∫_a^b y(t) ||y(t)|| ||γ'(t)|| d t, F_L ∫_a^t ||1/L b ( ||L|L')(t)|| ||γ'(t)|| d L = 0

Quindi, abbiamo trovato il modo con cui calcolare l'area di una superficie Σ di rotazione: A(Σ) = 2π ∫_a^b x(t) ||γ'(t)|| || d t

Ora riuniamo all'esercizio e calcoliamo l'area della superficie definita dalla curva x = tan² t con t ∈ [-π, π/3]

Osserviamo che f è una curva cartesiana, quindi, scriviamo cartesiana

La curva è sempre √^∞ (∫⁷( x )²)^1/2 derivata della funzione di quadrato rispetto al suo negativo.

Quindi:

Il y'(x||) = E^^-1( z/ √^{− L z} )

Allora calcoliamo l'area A(Σ):

A(Σ|) = 2π ∫₋^π o|⟨(n− z )| d t . 1 / √^{− e z} = = F ^⟨(n− z )⟩

+ 2π ∫ asin( z ) . z – Σ^A = 2π (π/2 + 4Λ 5/2 − Λ) = = 2 π (π + )

(b) 5_io: Σ = Σ ( x,y,z ), ∈ R³ (a) l + x + y = ? ( x^2 + y^2 ) ? z ≤ 0, x

(b) z + x, 2 √^{z y2} /

Z = 2 √^{z y2} + (com) (posizione ortogonale all'origine e asse Z

( conico con rottura nell' origine e asse Z

Immagine: l'insieme E è l'unione di due pezzi, ben descritto, ovvero una parte di cilindro, per

a ≤ z ≤ h e una zona di paraboloide

Riusciamo calcolando il flusso con il

teorema della divergenza

Calcoliamo la superficie

dom e

E = _∂E ∬ F⋅m^-> dS = _E ∭ (div F) dxdydz = _E∭∂ dxdy dz = |E|

Volume dell'insieme E

Sappiamo che |E| è uguale a |E| = |E₁ +E₂|,

ovvero è uguale alla somma dei volumi dei due insiemi E₁ e E₂,

ovvero i pezzi di cilindro alte e superficie celate al volume

[nE₁ = (n, z²) h, (n, z²) ((n, 1-n) = 3π ). Quindi si basta calcolare il volume

dell'insieme E₁ con E₂ = { x, y, z | −1 x²2 ≤ x ≤ 1, x²3 ≤ x z ≤ x 3 }

Utilizziamo la coordinata cilindrica per calcolare l'integrale

|E₂| = _E2 ∭ dxdydz = ₀∫∫ cn x_z1 ∬ x₂ z dz = 2π ( ∫1 x^{y_y/u₄ )}

E₂ area

Disparte cubo d'asse (x, y)

| coordinata cilindriche

Allora è conosciuto l'integrale di E₂ e ovvero sarà un volume:

|E₁+E₁+|E₂| = 3π + 2π ( x_{2/um - x4/1 )}

Equivalente a due terzi del flusso uscirà

osserviamo che la funzione che costituisce

dal lato unione di semplici

elemento 2E