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Successioni di funzioni
- convergenza puntuale
- lim fn(x)
- convergenza uniforme
limn→∞ sup |fn(x) - f(x)| = 0 se il risultato non è compresso nel nostro dominio lo si studia in un intervallo del tipo [a, a]∪[a, b]
funzione limite se f è discontinua ⇒ fn non converge uniformemente a f in A
Per le successioni di funzioni non vi è convergenza totale
Serie di funzioni
- convergenza puntuale
- Criterio del rapporto, criterio del confronto, criterio delle radici (fissa n cambio x)
se converge assolutamente, allora converge anche puntualmente
- convergenza uniforme
limn→∞ supx∈A |Rn| = 0↔ limn→∞ supx∈A |fn(x)| = 0 se questo limite 0, converge a zero
convergenza totale
- |fn(x)| ≤ Ln sum Ln ∈ ℝ +
- ∑n=1 Ln < +∞
{∑n=1 ∞ supx∈A |fn(x)| < +∞
Potrebbe esistere un intervallo in cui la serie converge totalmente ∑n=1 ∞ supx∈A |fn(x)| converge ∀x ∈ A
La convergenza totale è la più potente; se una serie converge totalmente allora converge anche uniformemente e puntualmente.
Se non vi è convergenza puntuale, non vi sarà nemmeno uniforme e totale.
Se non vi è convergenza uniforme, non ci sarà nemmeno totale ma potrebbe essere puntuale.
Teorema di Pappo
Una superficie di rivoluzione ottenuta ruotando una curva piana di lunghezza l attorno ad un asse giacente sul piano della curva ha area 2πLh, dove h è la distanza del baricentro della curva dall'asse di rotazione.
Teorema di Guldino
Il volume del solido generato dalla rotazione di una superficie ruotabile intorno ad una retta complanare che non lo attraversa è dato dall'area della superficie piana moltiplicata per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro della superficie.
Si determini il volume del solido omogeneo e di densità 2 ottenuto per rotazione intorno all'asse z della regione piana
C = { (x,z) : x -2 ≤ x ≤ (x -1)2, 0 ≤ x ≤ 2 }
Il volume V si ottiene usando il teorema di Guldino
V(z) = 2π ∫∫C x dx dz = 2π ∫01∫x-1x2 x dz dx = 2π ∫01 x [(x -1)2 - x + 1] dx =
= 2π ∫01 x (-2x - x2 + 2) dx = 2π [ -x3/3 - 2x2/2 + 2x ]10 = 2π[ -1/4 + 2/3 + 1/3 ] =
= 2π [ 12 - 4 - 3/12 ] = 2π 5/12
I'm unable to transcribe the text from the image.Studiare la convergenza puntuale ed assoluta della serie
Studiare la convergenza in [1,2] e calcolare ∫12 ∑n=1∞ (n-1)x(1/1+x2)n dx
Applica il teorema del rapporto generalizzato
limn |an+1/
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