Esercizi Statistica tipo 5 (variabili casuali, Bernoulli, Binomiale, stima verosimiglianza, stimatori, confidenza)

Esercizi di tipo 5 (dispense)

Esercizio 1

• Viene svolto un sondaggio di opinione allo scopo di individuare la percentuale della popolazione che vota per il partito A. Alle prossime elezioni vengono intervistate 1000 persone e di queste 237 affermano di preferire il partito A.

1. Formulare il modello statistico:
   • Parametro di interesse: θ che indica la frazione di popolazione che preferisce il partito A
   Vettore di osservazione: X₁, ..., X₁₀₀₀
   • Spazio dei parametri: Θ = [0, 1]

   X₁, ..., X₁₀₀₀ sono i.i.d. con distribuzione Bern(θ) equivalente a Bin(1, θ). La v.c. Xᵢ assume valore 1 se l'_i-esimo intervistato afferma di votare per il partito A e 0 altrimenti, in hs quindi P(Xᵢ = xᵢ; θ) = θ ˣⁱ (1 - θ)¹⁻ˣⁱ e f(x₁, ..., Xᵢ; θ) = θ ˣⁱ (1 - θ)¹⁻ˣⁱ , xᵢ = 0, 1

2. Determinare la stima di massima verosimiglianza del parametro θ.

   La funz. di verosimiglianza per un generico osservato del vettore di osservazione X₁, ..., Xₘ dove m = 1000 è

   L(θ) = ∏_i=1 Xᵢ, θ ˣⁱ (1-θ)¹⁻ˣⁱ = θ ˣᵢ (1 - θ)¹⁻ˣⁱ

   Il processo per ottenere lo stimatore è il logaritmo della funzione di verosimiglianza

   l(θ) = ∑_i=1 Xᵢ log(θ) + (m - ∑_i=1 Xᵢ) log(1 - θ)

Derivo la E(_tⁱ).

E(_tⁱ) e q

dE(_tⁱ)  dt

[ ( m ∑_i=1^mv _{i x} ) ⁿ 1 ^m ] - (m - ∑^m_i=1 x_i) ³ _{m &supdxis;} -m (m - ∑^m_i=1 x)_i⃗)

[©m ∑_m=1ⁿu^t ( m - ∑_i=1^m x_x ) - ∑_i=1^mx_i = _i⃗m

per ³

< &sub>i=1m = x ృ -x ¹00 = 0.237

per trovare E(^q) e V(_i).

E(_t = E(

x

V(_{t = V} = V(_m ∑^m_i=1x