Esercizi Statistica tipo 4 (valore atteso, varianza, standard deviation, distribuzioni di probabilità, variabili casuali)

Esercizio 1:

Si lancia un dado 60 volte. Sia X_i il risultato dell'i-esimo lancio.

(a) Qual è la probabilità che la somma degli esiti sia maggiore di 250?

S_n = X₁ + X₂ + ... + X₆₀

• S_n ∼ N (m, μ, m, σ²)

μ = ∑_x∈Si x_i P(X = x_i) = 1 ⋅ ¹/₆ + 2 ⋅ ¹/₆ + 3 ⋅ ¹/₆ + 4 ⋅ ¹/₆ + 5 ⋅ ¹/₆ + 6 ⋅ ¹/₆

= 3,5

σ² = ∑_x∈Si x² P(X = x_i) - E²(x) = ¹²/₆ + ²²/₆ + ³²/₆ + ... + ⁶²/₆

- 3,5² = ^2,9167/₆

S_m ∼ N (^{3,5 ⋅ 60}/₂₁₀ ; ^{2,9167 ⋅ 60}/₁₇₅)

P(S_m > 250) = P(S_m - E(S_m) / σ(S_m) > ^{250 - 210}/_√175)

= P(Z > 3,02) = 1 - φ(3,02) = 1 - 0,99874

= 0,00126

Esercizio 2:

Siano X ∼ Bin (1000, 0,25) e Y ∼ Bin (500, 0,5). Due v.c. indipendenti calcolare in modo approssimato, P(X > Y).

E(X) = m ⋅ π = 250

V(X) = m ⋅ π(1 - π) = 187,5

E(Y) = m ⋅ π = 250

V(Y) = m ⋅ π(1 - π) = 125

Visto che sono due variabili indipendenti allora anche

X - Y ha approssimativamente una distribuzione normale

con E(X-Y) = E(X) - E(Y)

V(X-Y) = V(b_ache da o quadrato) = V(X) + V(Y)

X-Y ∼ N (250, 187,5 + 125) = N(0, 312,5)

P(X>y) = P(X-Y>0) = 0,5 cons...

Esercizio ³

Siano X₁ ... X₁₀₀ v.c. i.i.d. con E(X_i) = μ, V(X_i) = 100.

Calcolare in modo approssimato P(97,5 < &overline;X < 101).

E(&overline;X) = μ = 100

V(&overline;X) = σ² / n = 100 / 100 = 1

P(97,5 < &overline;X < 101) = P( 97.5-100 < &overline;X-E(&overline;X) < 101-100 )

P( 97.5-100 < &overline;X - E(&overline;X) < 101-100)

P( -2,5<Z<1 ) = Φ(1) - (1 - Φ(2,5))

= 0,8413 - (1-0,9938)

= 0,8351

Esercizio ⁴

Siano X₁, X₂, ... X₃₀ v.c. i.i.d. con E(X_i) = μ e V(X_i) = 32.

Calcolare in modo approssimato mediante l'applicazione del T.C.L.

P(T₃₀ > 27 dove T₃₀ = x₁ + x₂ + ... + x₃₀

T₃₀ ∼ N (10,4 , 10,32)

P(T₃₀ > 27) ≈ P(Z > 27-40 / √30)

≈ P(Z > -0,33) ≈ 1 - Φ(-0,73)

= ≈ 1 - Φ(0,33) = 0,3673

b. Stimare la probabilità che il peso del carico superi 5050 kg

P(S₂₀₀ > 5050) = P(Z₂₀₀ - E(S₂₀₀) > 5050 - 5000) / SE(S₂₀₀))

= P(Z > U_1,96) = 1 - Φ(U_1,96) = 1 - 0,9207 = 0,0793

c. Stimare la probabilità che il peso carico sia compreso tra 4950 e 5050.

P(4950 < = < S < 5050) = P(4950 - 5000 < Z < 5050 - 5000) / 35,36)

= P(-1,41 < Z < 1,13) = Φ(1,13) - (1 - Φ(1,41))

= 0,8908 - 1 + 0,9207 = 0,7915

d. Probabilità che il peso del carico sia esattamente 5050 kg!

- Se VC di Sm è continuo, in questo caso la probabilità di assumere un valore qualunque esatto è = 0

ESERCIZIO

9

NEL ANNO 2001 SONO STATI SOSTENUTI 9466 PRESSO UNICA - ECONOMIA

CON UNA MEDIA μ = 24,44 E δ = 3,68 DAL'ESERCIZIO DI ESTRARE UN

CAMPIONE DI AMPIEZZA M = 400

a. Quali sono il valore atteso e la deviazione standard della media campionaria?

E(X) = μ = 24,44

SD(X) = δ / √m = 3.68 / √400 = 0,184

b. Stimare la probabilità che la media dei voti sia < 23

P(X < = 23) ≈ P(Z < 23-24,44) / 0.184) ≈ P(Z < = -7.83)

≈ 1 - 1 = 0