Esercizi Statistica tipo 3 (probabilità, variabili casuali, Normale, Binomiale, Poisson)

Esercizi Tipo 3 (dispensa)

Esercizio 1

1. Si estrae da un'urna un biglietto con ne
2. Descrivere la probabilità della somma Z = : ^x

• Urna 1 → P(X = ) = ¹/₂ , P(X = ) = ¹/₂
• Urna 2 → P(O) = ³/₄ , P(X ) = ¹/₄

Z : Somme X_i e Y_i:

• P(Z = ) = ³/₈ + ³/₈
• P(Z = ¹) = ³/₈
• P(Z = ²) = ¹/₈

• SOD(Z) = V(Z ) =

• Si ripetono l'esperoimento 10 volte:
• Bin (10, Pi)

2^a

Per una v.c. X ∼ Bim (2, 0.5) si considerino gli eventi

A: = { x = 0 }

B: = { x = 1 }

1. Calcolare P(A ∪ B, C).
   • P(A ∪ B, C) = P(A) + P(B, C)

     (₂C₀)0.5⁰0.5² + (₂C₁)0.5¹0.5^2-1

     = 1.1.0.25 + 2.0.25 = 0.75

2. Calcolare P(A|B).
   • Dato che gli eventi sono disgiunti, P(A|B) = 0
3. A e B non sono eventi indipendenti

Esercizio 3^o

1. Una scatola contiene palline B e N. Ci sono P.B. si effettuano 10 estrazioni con reimmissione.
2. Indicare la distribuzione di B e N
   • B ∼ Bim (10, "u") e N ∼ Bim (10, 1-"u")
3. Ricavare la distribuzione S = B - N e calcolare E(S) e V(S)
   • Dato che S = B + N e che N ∩ D ∩ B, vuol dire che S > 10, preve S = B + N - 10, dove la probabilità di S è 1 E(S) = 10, V(S) > 0

Esercizio

Sia X una v.a. distribuita secondo una normale N(μ, σ²)

a)

P(5 < X < 7,9) = ….. (ricorda che z = (x - μ) / σ )

• P(5 < X < 7,9) ≈ P((5-u)/3 < Z < (7,9-u)/3)
• ≈ P(0 < Z < 1,3)
• = Φ(1,3) - Φ(0) = 0,9032 - 0,5 = 0,4032

b)

P(0 < X < u)

• P(0 < X < u) ≈ P((0-u)/3 ≤ Z ≤ (u-4)/3)
• ≈ P(-1,33 ≤ Z ≤ 0)
• = Φ(0) - Φ(-1,33) = 0,5 - (1-0,9082) = 0,4082

c)

P(0 < X < 7,9)

• P(0 < X < 7,9) ≈ P((0-u)/3 ≤ Z ≤ (7,9-u)/3)
• ≈ P(-1,33 ≤ Z < 1,3)
• = Φ(1,3) - Φ(-1,33) = 0,9032 - (1-0,9082) = 0,8114

d)

P(5,2 < X < 8,2)

• P(5,2 < X < 8,2) ≈ P((5,2-u)/3 ≤ Z ≤ (8,2-u)/3)
• ≈ P(0,1 < Z ≤ 1,1)
• = 0,9492 - 0,6554 = 0,2638

e) Lancia 8 volte la moneta. Probabilità di ottenere un numero di teste compreso tra 5 e 6.

P(5 ≤ x ≤ 6) = P(x = 5) + P(x = 6)

= ₈C₅ 0,3⁵ 0,6³ + ₈C₆ 0,3⁶ 0,6²

= ₈C₅ 0,00243 + ₈C₆ 0,0002349

= 0,1870 + 0,1027 + 0,2894

Esercizio 10^o

Il numero di ordini (X/settimana) di un prodotto è descritto da una v.a. Poiss (3). Le v.c. sono indipendenti.

a)

Probabilità che in una settimana X sia uguale a 1.

P(X = 1) = ¹/_1! 3¹ e^-3 = 0,1494

b)

Probabilità che in una settimana si abbiano non più di due ordini.

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= ^{30 e-3}/_0! + 0,1494 + ^{32 e-3}/_2!

= 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232

c)

Probabilità che in una settimana si abbiano almeno 3 ordini.

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2)

= 1 - 0,4232 = 0,5768