Statistica - Variabili casuali, Normale, Binomiale, Poisson, Bernoulli, Gaussiana

Variabili casuali (VC)

Le variabili casuali sono un riassunto numerico degli eventi.

Esempio

P(M): proporzione maschile = 106
P(F): proporzione femminile = 94
M = 200
P(M) = ¹⁰⁶/₂₀₀ = 0,53
P(F) = 0,47

Tra tutte le famiglie che hanno 3 figli, ne prendo 1 a caso, le possibili combinazioni sono:

• FFF
• MFF
• FMF
• FFM
• MMF
• FMM
• MFM
• MMM

P(FFF) = 0,42 · 0,47 · 0,47 = 0,1038
P(FMF) = 0,42 · 0,53 = 0,1474
P(FFM) = 0,47 · 0,53 = 0,1124
P(MMM) = 0,53³ = 0,1489

Trasformiamo ognuno di questi eventi in un numero:

• X = conta in base al n° di maschi
• Y = conta in base al n° di femmine
• W = conta quante volte lo stesso sesso è stato partorito di seguito
• Z = se c'è un maschio o no

Probabilità di scegliere una famiglia

con 0 maschi:

• P(x=0) = P(FFF) = 0,1038

con 1 maschio:

• P(x=1) = P(FMF) ∪ P(FHF) ∪ P(FFH) = 0,1474 + 0,114 + 0,1124 = 0,3533

con 2 maschi:

• P(x=2) = P(FMM) ∪ P(MMF) ∪ P(MMF) = 0,3203 = 0,3960

con 3 maschi:

• P(x=3) = P(MMM) = 0,1489

Variabili casuali aleatorie

Le VC sono una rappresentazione numerica di eventi.

Esempi

P(M):   "popolazione maschile" = 106
P(F):   "popolazione femminile" = 94
M = 200
P(M) = ¹⁰⁶⁄₂₀₀ = 0,53
P(F) = 0,47

Tra tutte le famiglie che hanno 3 figli, ne prendo 1 a caso; le possibili combinazioni sono:

• FFF
• MFM
• FFM
• MMM
• FMF
• MMF

Immaginiamo gli eventi indipendenti:

• P(FFF) = 0,47 × 0,47 × 0,47 = 0,1038
• P(FMM) = 0,47 × 0,53 × 0,53 = 0,1314
• P(MMM) = 0,53³ = 0,1489

Trasformiamo ognuno di questi eventi in un numero:

• X = conta in base al n° di maschi
• Y = conta in base al n° di femmine
• W = conta quante volte lo stesso sesso è differenziato di seguito
• Z = se c'è un maschio o no

Probabilità di scegliere una famiglia

• Con 0 maschi - P(x = 0) = P(FFF) = 0,1038
• Con 1 maschio - P(x = 1) = P(FEM) ∪ P(HEM) ∪ P(MFE) = 0,147 + 0,147 + 0,1314 = 0,3531
• Con 2 maschi - P(x = 2) = P(HEM) ∪ P(HEM) ∪ P(MME) = 0,3203 + 0,3960
• Con 3 maschi - P(x = 3) = P(HEM) = 0,1489

Distribuzione di probabilità della variabile X

P(1_<X_<3) = F(3) - F(1) = 1,0000 - 0,4551 = 0,5449

La probabilità che una variabile casuale P(x) assuma un valore P(X=x), la chiamiamo f(x).
P(X=x) = f(x) è una funzione del valore x.

Teoria

1. Supporto di una variabile casuale
   Il supporto di una variabile casuale X è l'insieme dei possibili valori x che X può assumere e lo indichiamo con S_x
   Es. S_x = {0,1,2,3} nell'esercizio