Statistica - Variabili casuali, Normale, Binomiale, Poisson, Bernoulli, Gaussiana

Variabili Casuali (VC) → Aleatorie

Le VC sono un risultato numerico degli eventi (rappresentazione numerica di eventi).

Esempi:

P(F) → proporzioni maschile = 106

P(E) → proporzioni femminile = 94

M = 200

P(F) = ¹⁰⁶/₂₀₀ = 0,53

P(E) = ⁹⁴/₂₀₀ = 0,47

In tutte le famiglie che hanno 3 figli, me prendo 1 a caso; le possibili combinazioni sono:

• FFF
• MFF
• FMF
• FFM
• MMF
• MFM
• FMM
• MMM

Immaginiamo gli eventi indipendenti

P(FFF) = 0,47 × 0,47 × 0,47 = 0,1038

P(FMM) = 0,47 × 0,53 × 0,53 = 0,1314

P(MMM) = 0,53³ = 0,1489

Trasformando ognuno di questi eventi in un numero:

• X = conta in base al n° di maschi
• Y = conta in base al n° di femmine
• W = conta quante volte lo stesso sesso è stato partorito di seguito
• Z = se c’è un maschio o no

Probabilità di scegliere una famiglia con 0 maschi: → 1 caso

P(X=0) = P(FFF) = 0,1038

Probabilità di scegliere una famiglia con 1 maschio: → 3 casi

P(X=1) = P(FEM) ∪ P(EFM) ∪ P(FFM) = 0,1474 + 0,1489 = 0,3533

Probabilità di scegliere una famiglia con 2 maschi: → 3 casi

P(X=2) = P(FMM) ∪ P(MFM) ∪ P(MEF) = 0,1320 + 0,3960

Probabilità di scegliere una famiglia con 3 maschi: → 1 caso

P(X=3) = P(MMM) = 0,1489

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DELLA VARIABILE X

F(1) F(3) = F(3) - F(1) = 1,0000 - 0,4551 = 0,5449

La probabilità che una variabile casuale P(x) assuma un valore P(X=x), la chiamiamo f(x)

P(X=x) = f(x) → è una funzione del valore

TEORIA

1. SUPPORTO DI UNA VARIABILE CASUALE
   • Il supporto di una variabile casuale X è l'insieme dei possibili valori x che X può assumere e lo indichiamo con S_x
   • es. S_x = {0,1,2,3} nell'esercizio precedente
2. PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI PROBABILITÀ
   • Sia X una variabile casuale con supporto S_x, la funzione di probabilità è F(x) = P(X=x), ∀x ∈ S_x
   • (detto il supporto la f(x) mi dice con che probabilità X assume quell'importo)
   1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ S_x
   2. ∑ f(x) = 1

(ii) Se y è una trasformazione lineare di x

y = a + bx la varianza di y

è V(y) = b²V(x)

(iii) Se x e y sono due variabili casuali

indipendenti, allora V(x + y) = V(x) + V(y)

ma in generale non è vero

Formulazione semplificata di V(x):

V(x) = E(x - E(x))²

 = ∑_x∈Sx (x - E(x))²

 = E(x²) - E²(x)

 = ∑_x∈Sx x²f(x) - E²(x)

Esempio

S_x = {1, 2, 3, 5}

E(x) = 1⋅1/5 + 2⋅2/5 + 3⋅1/5 + 5⋅1/5 = 13/5

V(x) = ∑_x∈Sx x²f(x) - E²(x)

 = 1²⋅1/5 + 2²⋅2/5 + 3²⋅1/5 + 5²⋅1/5 - (13/5)² = 46/25

SD = √V(x) = √46/25 = 1.356

Esempio

Lancio 10 volte una moneta perfetta, quindi _Ï=¹/₂

Consideriamo:

• X equivalente per Mon. U _i = 1
• ¹/₂

• s_X = {0, 1, 2, ..., 10}

E(X_i) = miÏ = 10 * ¹/₂ = 5

Var(X) V(X₁ + X₂ + ... + X_m)

• V(X₁) + V(X₂) + ... + V(X_m)
• mV(X₁) = mÏ(1 - Ï)

m volte

= miÏ(1 - Ï)

= 1 . 10(¹/₂) = ¹⁰/₄

SQ = √(V(x)) = √¹⁰/₄

7. Variabile Casuale Binomiale

1. Una certa X ~ Bin (m,Ï) conta i successi o un certo numero di m prove.
2. s_X = {0, 1, 2, ..., m}
3. con M ≥ 0 Î [0, 1] è la prob. di successi
4. P(X = x) = ^{(m /_x)} * Ï^x * (1 - Ï)^{m - x}
5. E(X) = mÏ V(x) = mÏ(1 - Ï)

Esercizi

Le chiamate in arrivo a un centralino di emergenza tra le 22:00 e le 23:00 si descrivono da X ~ Poi(2)

1. Probabilità di non avere alcune telefonata in arrivo?

   X ~ Poi(0)

   P(X=0) = 1_0! e^-2 = 0,1353

X

• 0 - 0,1353
• 1 - 0,2707
• 2 - 0,2707
• 3 - 0,1804
• ...
• 9 - 0,0002

Se X è una variabile casuale che conta il n^o di incidenti mortali a settimana che avvengono in una data regione e

X ~ Poi(5)

a) Probabilità di avere 4 incidenti in una settimana?

P(X=4) = ₁^4! 5⁴ e^-5 = 0,0417 · 625 · 0,00673 = 0,1756

- 12,58%

b) Almeno 2 incidenti mortali in una settimana

P(X>2) = P(X=2) ∪ P(X=3) ∪ ...

= 1 - P(X=0) P(X=1) ... 1 - P(X²)

= 1 - (₁^0! 5⁰ e^-5) - (₁^1! 5¹ e^-5)

= 1 - 0,00673 - 0,03369 = 0,9596

- 95,96%

c) Non più di due incidenti mortali in una settimana

P(X≤2) = P(X=2) ∪ P(X=1) ∪ P(X=0)

= ₁^1! = 0,00673 + 0,03369 + ₁^2! 5² e^-5 = 0,1245

- 12,45%

classe Z = μ σ → Z ~ N (0,1)

normale standard

Z è la variabile standard

La sua densità = Φ(z)

La sua distribuzione = Φ(z)

P(Z ≤ z) = Φ(z)

Specifichiamo

P(Z ≤ 1) = Φ(1) = 0,8413

Usando la tavola

P(Z ≤ -1) = Φ(-1)

= 1 - P(Z ≤ 1)

= 1 - Φ(1)

= 1 - 0,8413 = 0,1587

sono simmetriche,

quindi P(Z ≥ -1) = P(Z ≥ 1)

Φ(z) =

{ Φ(z) usare la tavola se Z 有 0.

{ 1 - Φ( |Z| ) se Z ≥ 0.

esempio:

X ~ N (5,4)

P(3 < X < 7) = P(

3 - 5 X - μ 7 - 5

2 < 2 5 < 2

= P(-1 < Z < 1)

= Φ(1) - Φ(-1)

= 0,8413 - (1 - 0,8413) = 0,6826

P( -1,65 < Z' ≤ 0,57) = Φ(0,57) - Φ(-1,65)

= 1 - Φ(0,57) - (1 - Φ(-1,65))

= 1 - 0,7157 - (1 - 0,9505)

= 0,2843 - 0,0495 = 0,2348