Esercizi di statistica: media, varianza, covarianza, coefficienti di regressione, variabili casuali, correlazione, modello di regressione lineare, probabilità, test delle ipotesi

ESERCITAZIONE #1

La società AUDIO PRO ltd produce componenti per l’elettronica. Essa è organizzata in 10 filiali operanti in dieci paesi europei. Nella seguente tabella sono riportati il numero di dipendenti impiegati in ciascuna delle unità produttive (D), il volume di costi di produzione del lavoro espressi in migliaia di euro (Y) ed il livello di produttività misurato in ciascuna delle filiali (P). Vi sono tre possibili livelli di produttività: A rappresenta il livello più alto, B quello intermedio, C è il livello inferiore.

1. Individuare nel caso proposto: carattere, popolazione ed unità statistiche. Classificare i caratteri.
2. Usando la serie di dati dei costi, calcolare media e varianza. Per il calcolo della varianza utilizzare sia la formula in termini di scarti dalla media, sia quella espressa in termini di momenti.
3. Costruire per la variabile C una distribuzione di frequenza utilizzando quattro classi di modalità di eguale ampiezza.
4. Calcolare la media e la varianza di C utilizzando la distribuzione di frequenza derivata al punto precedente (per il calcolo della varianza utilizzare la formula in termini di momenti).
5. Si ritiene che i costi aumenteranno del 2.5% per il prossimo anno. Si calcoli la media e la varianza prevista per i costi del nuovo anno.
6. Utilizzando la distribuzione di frequenza dei costi, calcola la mediana, i quartili, e rappresenta il box-plot.
7. Sotto l’ipotesi che i costi aumenteranno del 2.5% per il prossimo anno, ricalcolare la mediana.
8. Rappresentare opportunamente la distribuzione di frequenza di P e di C.

D . C . P = 3 CARATTERI

VARIABILE

VARIABILE

DISCRETA CONTINUA

UNITÀ STATISTICHE : 10

Abbiamo dati NON RAGGRUPPATI.

→ M_c = ?

→ σ_c² = ?

M_c = (1/N)∑_i=1^Nx_i = 708,56 / 10 = 70,856

con M_x = (1/N)∑_i=1^Nx_i² = 55168,617 / 10 = 496,295

σ_c² = M_2x - M_x² = 5516,868 - 5020,573 = 496,295

ESERCITAZIONE #2

Esercizio 1.

Considerare il data set proposto nell'esercitazione #1.

1. Misurare la mutabilità della produttività. (DA NON FARE)
2. Data la distribuzione di frequenza dei costi con 4 classi della stessa ampiezza (vedi esercitazione #1). Calcola gli indici γ₁ e γ₂.
3. Ricalcola gli indici γ₁ e γ₂ per la variabile costo usando la serie di dati.
4. Calcola la differenza interquartile relativa (indice di Yule-Bowley) e spiega il risultato. (da svolgere individualmente).
5. Ora considera una diversa ampiezza delle classi e ricalcola tutte le statistiche commentando le differenze (esercizio da svolgere individualmente).

Esercizio 2.

Si consideri la seguente distribuzione doppia.

X/N| 10 60 80 45| 1 9 9 60| 2 5 1 90| 10 0 1

1. Derivare la distribuzione di frequenze relative doppia.
2. Calcola le distribuzioni marginali.
3. Calcolare medie, varianze, covarianza e correlazione. Commenta il risultato.
4. Calcolare l'indice di indipendenza χ² e la sua versione normalizzata Φ₂.

χ² =

• (1-4,06)² + (0-1,56)² + (9-4,38)² + (2-3,25)² + (5-1,25)² +

• 4,06 + 1,56 + 4,38 + 3,25 + 1,25

• + (1-3,50)² + (10-5,69)² + (0-2,19)² + (4-6,13)²

• 3,50 + 5,69 + 2,19 + 6,13

χ² = 2,306 + 1,56 + 4,893 + 0,482 + 11,25 + 1,785 + 3,264 + 2,19 +

+ 0,940 = 28,45

e² = χ² →

^{max χ2 = N [min (h;k) -1]}

max χ² = 32 [3-1] = 64

e² = ^28,45 = 0,44

⁶⁴

ES 2

U { 25R, 20B, 15G }

1. P(2R) = ²⁵/₆₀ * ²⁵/₆₀ = ⁶²⁵/₃₆₀₀

2. P(R¹ ∩ G²) = P(R¹) ∙ P(G²) = ²⁵/₆₀ ∙ ¹⁵/₆₀ = ³⁷⁵/₃₆₀₀

3. P (B^-1) = P (B^-1 ∩ B^-2) = ⁴⁰/₆₀ ∙ ⁴⁰/₆₀ = ¹⁶⁰⁰/₃₆₀₀

ESERCITAZIONE #4

Esercizio 1. La ANALOGPHON Ltd produce nastri per la registrazione analogica. È stato rilevato che alla fine della catena di produzione il 15% dei nastri ha difetti di produzione. Si prelevano a caso 23 nastri, si vuole calcolare:

• a. la probabilità che tre nastri siano difettosi;
• b. la probabilità che almeno quattro nastri siano difettosi.

Sia X il numero di nastri difettosi, si calcoli E[X2].

Esercizio 2. Ci sono due scatole, A e B, a 50 metri di distanza. Si lancia 200 volte un sasso sapendo che la probabilità di farlo entrare nella scatola A in un singolo lancio è pari a 0.0032. Calcolare la probabilità di centrare almeno 3 volta la scatola A.

Esercizio 3. L’azienda ospedaliera ICCM Srl vuole migliorare il proprio servizio riducendo le code di attesa per il pronto intervento. A tal scopo si avvia un’indagine dove si stima che in 10 ore ci sono complessivamente 73 richieste di intervento. Calcolare la probabilità che in 20 minuti:

• a. non arrivi nessuno;
• b. ci siano 4 richieste di intervento;
• c. ci siano almeno due richieste di intervento.

Sia X il numero di richieste di intervento nell’intervallo di 5 minuti, calcolare E[X], E[X2] e Var[X].

Esercizio 4. Siano X ed Y due variabili casuali indipendenti, dove X ~ Uniforme(5) (discreta) e Y ~ Poisson(4). Calcolare: Pr[(X > 2)∩(Y < 2)].

Esercizio 5. [Risolvere individualmente] Si lancia un dado regolare 15 volte. Calcolare le probabilità di ottenere almeno un 6.

Esercizio 6.

Si consideri la variabile casuale X a valori in R con funzione di densità:

Determinare il parametro α, disegnare la curva di densità e calcolare la funzione di distribuzione.